热门试卷

解：(1)由已知得椭圆的长半轴a=2,

半焦距c=,则短半轴b=1.

又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为…………… 6分

(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0)，

由，得

由,点P在椭圆上,得,

∴线段PA中点M的轨迹方程是…………… 12分

略

（1）（2）所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）

【解题思路】通过，沟通A、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式。

（1）由题意可知椭圆为焦点在轴上的椭圆，可设

由条件知且，又有，解得

故椭圆的离心率为，其标准方程为： 

（2）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）

得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0

Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*）

x1＋x2＝，x1x2＝　

∵＝3∴－x1＝3x2∴

消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0

整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0　 

m2＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝，

因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝>0，∴－1<m<－ 或<m<1

容易验证k2>2m2－2成立，所以（*）成立

即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）   

【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能

的最大值是，最小值是

当时，取得最大值，

当时，取得最小值

（Ⅰ）f(m)=，m∈［2,5］

（Ⅱ）f(m)的最大值为，此时m=2;f(m)的最小值为，此时m=5

解 （Ⅰ）设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a2=m,b2=m－1,c2=a2－b2=1

∴椭圆的焦点为F1(－1,0),F2(1,0) 

故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=±,即x=±m 

∴A(－m,－m+1),D(m,m+1)

考虑方程组,消去y得 (m－1)x2+m(x+1)2=m(m－1)

整理得 (2m－1)x2+2mx+2m－m2=0

Δ=4m2－4(2m－1)(2m－m2)=8m(m－1)2

∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，xB+xC= 

又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上

∴|AB|=|xB－xA|==(xB－xA)·,|CD|=(xD－xC)

∴||AB|－|CD||=|xB－xA+xD－xC|=|(xB+xC)－(xA+xD)|

又∵xA=－m,xD=m,∴xA+xD=0

∴||AB|－|CD||=|xB+xC|·=||·= (2≤m≤5)

故f(m)=，m∈［2,5］ 

（Ⅱ）由f(m)=，可知f(m)= 

又2－≤2－≤2－，∴f(m)∈［］

故f(m)的最大值为，此时m=2;f(m)的最小值为，此时m=5 

（1）（2）

解：（1）解得

椭圆C的方程为

（2）当轴时，，

当AB与x轴不垂直时，设直线l的方程为，

则

由

，

当且仅当，

当

最大时， 

,

略

（Ⅰ）；（Ⅱ）略；（Ⅲ）。

解：（Ⅰ）所求椭圆M的方程为…4分

（Ⅱ）当≠，设直线AB的斜率为k = tan，焦点F ( 3 , 0 )，则直线AB的方程为

y = k ( x – 3 )              有( 1 + 2k2 )x2 – 12k2x + 18( k2 – 1 ) =" 0"

设点A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 )             有x1 + x2 =, x1x2 =

|AB| = ** … 6分

又因为 k = tan=             代入**式得

|AB| = ………… 8分

当=时，直线AB的方程为x = 3，此时|AB| =……………… 10分

而当=时，|AB| ==

综上所述：所以|AB| =……………… 11分

（Ⅲ）过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，

同理可得         |CD| == ……………………… 12分

有|AB| + |CD| =+=

因为sin2∈[0，1]，所以  当且仅当sin2=1时，|AB|+|CD|有最小值是 …… 16分

(1) +y2=1   (2)见解析

(1)∵椭圆C的短轴长为2,椭圆C的一条准线为l:x=2,

∴不妨设椭圆C的方程为+y2=1.

∴==2,即c=1.

∴椭圆C的方程为+y2=1.

(2)F(1,0),右准线为l:x=2.设N(x0,y0),

则直线FN的斜率为kFN=,直线ON的斜率为kON=.

∵FN⊥OM,∴直线OM的斜率为kOM=-.

∴直线OM的方程为y=-x,

点M的坐标为M(2,-).

∴直线MN的斜率为kMN=.

∵MN⊥ON,∴kMNkON=-1.

∴·=-1.

∴+2(x0-1)+x0(x0-2)=0,即+=2.

∴ON=为定值.

（1）＝1或＝1.（2）＝1或＝1

(1)设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则故该椭圆的方程为＝1或＝1.

(2)由题设，2a＝|PF1|＋|PF2|＝2a＝.又b2＝，故该椭圆的方程为＝1或＝1.

（Ⅰ）;（Ⅱ）当时，的面积最大，最大面积为.

试题分析：1.由于题目较长，一些考生不能识别有效信息，未能救出椭圆的方程求.2. 第（Ⅰ）问，求的取值范围.其主要步骤与方法为：由，得关于、的不等式……   ①.由根与系数的关系、，在椭圆上，可以得到关于、、的等式……      ②．把等式②代入①，可以达到消元的目的，但问题是这里一共有三个变量，就是消了，那还有关于和的不等式，如何求出的取值范围呢？这将会成为难点.事实上，在把等式②代入①的过程中，和一起被消掉，得到了关于的不等式.解之即可.

3.第（Ⅱ）问要把的面积函数先求出来.用弦长公式求底，用点到直线的距离公式求高，得到的面积，函数中有两个自变量和，如何求函数的最大值呢？这又成为难点.这里很难想到把②代入面积函数中，因为②中含有三个变量，即使代入消掉一个后，面积函数依然有两个自变量.但这里很巧合的是：代入消掉后，事实上，也自动地消除了，于是得到了面积和自变量的函数关系，再由第（Ⅰ）中所得到的的取值范围，利用均值不等式，即可求出面积的最大值了.

试题解析：:（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，根据题意得

 解方程组得

∴椭圆的方程为．

由，得．

根据已知得关于的方程有两个不相等的实数根.

∴，

化简得：．

设、，则

．

（1）当时，点、关于原点对称，，满足题意；

（2）当时，点、关于原点不对称，.

由，得 即 

∵在椭圆上，∴，

化简得：．

∵，∴．

∵，

∴，即且．

综合（1）、（2）两种情况，得实数的取值范围是．

（Ⅱ）当时，，此时，、、三点在一条直线上，不构成.

∴为使的面积最大，.

∵

∴.

∵原点到直线的距离，

∴的面积．

∵，，

∴.

∴．

∵，

∴．

“” 成立，即．

∴当时，的面积最大，最大面积为