- 圆锥曲线与方程
- 共14739题
在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆E:
的左、右顶点分别为
、
,上、下顶点分别为
、
.设直线
的倾斜角的正弦值为
,圆
与以线段
为直径的圆关于直线
对称.
(1)求椭圆E的离心率;
(2)判断直线与圆
的位置关系,并说明理由;
(3)若圆的面积为
,求圆
的方程.
正确答案
(1),(2)相切,(3)
.
试题分析:(1)求椭圆E的离心率,只需列出关于的一个等量关系就可解出. 因为直线
的倾斜角的正弦值为
,所以
,即
,(2)判断直线
与圆
的位置关系,通常利用圆心到直线距离与半径大小比较. 因为直线
的倾斜角的正弦值为
,所以直线
的斜率为
于是
的方程为:
,因此
中点
到直线
距离为
所以直线
与圆
相切,又圆
与以线段
为直径的圆关于直线
对称,直线
与圆
相切.(3)由圆
的面积为
知圆半径为1,所以
设
关于直线
:
的对称点为
,则
解得
.所以,圆
的方程为
.
【解】(1)设椭圆E的焦距为2c(c>0),
因为直线的倾斜角的正弦值为
,所以
,
于是,即
,所以椭圆E的离心率
(2)由可设
,
,则
,
于是的方程为:
,
故的中点
到
的距离
, 又以
为直径的圆的半径
,即有
,
所以直线与圆
相切.
(3)由圆的面积为
知圆半径为1,从而
,
设的中点
关于直线
:
的对称点为
,
则
解得.所以,圆
的方程为
.
在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F(4m,0)(m>0,m为常数),离心率等于0.8,过焦点F、倾斜角为θ的直线l交椭圆C于M、N两点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若θ=90°,,求实数m;
(3)试问的值是否与θ的大小无关,并证明你的结论.
正确答案
(1)=1.(2)m=
(3)无关
(1)∵c=4m,椭圆离心率e==
,∴a=5m.∴b=3m.
∴椭圆C的标准方程为=1.
(2)在椭圆方程=1中,令x=4m,解得y=±
.
∵当θ=90°时,直线MN⊥x轴,此时FM=FN=,∴
=
.
∵=
,∴
=
,解得m=
.
(3)的值与θ的大小无关.
证明如下:(证法1)设点M、N到右准线的距离分别为d1、d2.
∵=
,
=
,∴
=
.
又由图可知,MFcosθ+d1=-c=
,
∴d1=
,即
=
.
同理,=
=
(-
cosθ+1).
∴=
+
(-
cosθ+1)=
.
∴=
·
=
.显然该值与θ的大小无关.
(证法2)当直线MN的斜率不存在时,由(2)知,的值与θ的大小无关.
当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为y=k(x-4m),
代入椭圆方程=1,得(25k2+9)m2x2-200m3k2x+25m4(16k2-9)=0.
设点M(x1,y1)、N(x2,y2),∵Δ>0恒成立,∴x1+x2=,x1·x2=
.
∵=
,
=
,∴MF=5m-
x1,NF=5m-
x2.
∴=
.
显然该值与θ的大小无关.
圆的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).
(1)求点P的坐标;
(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线交于A,B两点,若
的面积为2,求C的标准方程.
正确答案
(1);(2)
试题分析:(1)首先设切点,由圆的切线的性质,根据半径
的斜率可求切线斜率,进而可表示切线方程为
,建立目标函数
.故要求面积最小值,只需确定
的最大值,由
结合目标函数,易求;(2)设椭圆标准方程为
,点
在椭圆上,代入点得
①,利用弦长公式表示
,利用点到直线距离公式求高,进而表示
的面积,与①联立,可确定
,进而确定椭圆的标准方程.
(1)设切点坐标为.则切线斜率为
.切线方程为
.即
.此时,两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积
.由
知当且仅当
时,
有最大值.即
有最小值.因此点
的坐标为
.
(2)设的标准方程为
.点
.由点
在
上知
.并由
得
.又
是方程的根,因此
,由
,
,得
.由点
到直线
的距离为
及
得
.解得
或
.因此
,
(舍)或
,
.从而所求
的方程为
.
已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为
,短轴的一个端点为M(0,1),直线l:y=kx-
与椭圆相交于不同的两点A、B.
(1)若AB=,求k的值;
(2)求证:不论k取何值,以AB为直径的圆恒过点M.
正确答案
(1)k=±1.(2)见解析
(1)解:由题意知=
,b=1.由a2=b2+c2可得c=b=1,a=
,
∴椭圆的方程为+y2=1.由
得(2k2+1)x2-
kx-
=0.
Δ=k2-4(2k2+1)×
=16k2+
>0恒成立,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-
.
∴AB=·|x1-x2|=
,化简得23k4-13k2-10=0,即(k2-1)(23k2+10)=0,解得k=±1.
(2)证明:∵=(x1,y1-1),
=(x2,y2-1),
∴=x1x2+(y1-1)(y2-1)=(1+k2)x1x2-
k(x1+x2)+
=-
-
+
=0.∴不论k取何值,以AB为直径的圆恒过点M.
已知椭圆C:=1(a>b>0)上任一点P到两个焦点的距离的和为2
,P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为-
.设直线l过椭圆C的右焦点F,交椭圆C于两点A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)若=
(O为坐标原点),求|y1-y2|的值;
(2)当直线l与两坐标轴都不垂直时,在x轴上是否总存在点Q,使得直线QA,QB的倾斜角互为补角?若存在,求出点Q坐标;若不存在,请说明理由.
正确答案
(1)4(2)存在Q(3,0)
(1)由椭圆的定义知a=,设P(x,y),
则有,则
=-
,
又点P在椭圆上,则=-
,
∴b2=2,
∴椭圆C的方程是=1.(3分)
∵=
,
∴|cos∠AOB=
,
∴|sin∠AOB=4,
∴S△AOB=|sin∠AOB=2,
又S△AOB=|y1-y2|×1,故|y1-y2|=4.(7分)
(2)假设存在一点Q(m,0),使得直线QA,QB的倾斜角互为补角,
依题意可知直线l斜率存在且不为零,
直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),
由消去y得(3k2+2)x2-6k2x+3k2-6=0,(9分)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1·x2=
.
∵直线QA,QB的倾斜角互为补角,
∴kQA+kQB=0,即=0,(13分)
又y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),
代入上式可得2x1x2+2m-(m+1)(x1+x2)=0,
∴2×+2m-(m+1)×
=0,即2m-6=0,∴m=3,
∴存在Q(3,0)使得直线QA,QB的倾斜角互为补角.(16分)
如图,椭圆经过点
,其左、右顶点分别是
、
,左、右焦点分别是
、
,
(异于
、
)是椭圆上的动点,连接
交直线
于
、
两点,若
成等比数列.
(1)求此椭圆的离心率;
(2)求证:以线段为直径的圆过点
.
正确答案
(1)(2)见解析
试题分析:(1)由椭圆的几何意义知,
,
,由
等比数列知,
,即
,两边同除以
化为关于离心率
的方程,求出离心率;(2)设出P点坐标,利用直线两点式方程写出直线PA,PB方程,通过解PA与
及PB与
方程分别组成的方程组,解出点M,N的坐标,再通过计算向量法
=0,证明
,证明
为直径的圆过点
.
试题解析:(1)由题意可知,成等比数列,所以
(2)由,椭圆经过
点可知,椭圆方程为
设,由题意可知
解得,则
故以线段为直径的圆过点
.
已知双曲线C:离心率是
,过点
,且右支上的弦
过右焦点
.
(1)求双曲线C的方程;
(2)求弦的中点
的轨迹E的方程;
(3)是否存在以为直径的圆过原点O?,若存在,求出直线
的斜率k 的值.若不存在,则说明理由.
正确答案
(1);(2)
,(
;(3) 这样的圆不存在.
试题分析:(1)由已知条件双曲线C:离心率是
,过点
,由此能求出双曲线C的标准方程.(2)设M(x,y),
,将
代入椭圆方程,再利用“点差法”即可求出M的轨迹方程;(3)设
,
由已知
得:
,将
联立,得
,将
代入
得
,即可得出结论.
(1).
(2),(
)-------6分 注:没有
扣1分
(3)假设存在,设,
由已知得:
①
所以 ②
联立①②得:无解
所以这样的圆不存在. 12分
如图,已知点为椭圆
右焦点,圆
与椭圆
的一个公共点为
,且直线
与圆
相切于点
.
(1)求的值及椭圆
的标准方程;
(2)设动点满足
,其中M、N是椭圆
上的点,
为原点,直线OM与ON的斜率之积为
,求证:
为定值.
正确答案
(1);(2)证明过程详见解析.
试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程以及几何性质等基础知识,考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问,由椭圆C过点(0,1)点,所以得到,由
,得
,在直角三角形AFB中,利用勾股定理求参数a,c的值,从而得到椭圆的标准方程;第二问,设出点M,N,P的坐标,代入到
中,得到
与
、
的关系,得到
与
、
的关系,又由于点M,N在椭圆上,代入椭圆方程中,得到关系式,都代入到所求的式子中,化简得到定值.
试题解析:(1)由题意可知,又
.又
. 2分
在中,
,
故椭圆的标准方程为: 6分
(2)设
∵M、N在椭圆上,∴
又直线OM与ON的斜率之积为,∴
,
于是
.故
为定值. 13分
已知椭圆:
的离心率为
,其长轴长与短轴长的和等于6.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,设椭圆的上、下顶点分别为
,
是椭圆上异于
的任意一点,直线
分别交
轴于点
,若直线
与过点
的圆
相切,切点为
.证明:线段
的长为定值.
正确答案
(1);(2)定值为2,证明见解析.
试题分析:(1)根据椭圆的离心率、长轴与短轴的关系建立的方程可求得椭圆
的方程;;(2)设
,然后用此点坐标分别表示出
、
的方程,然后根据直线与圆相切性质、平面几何知识化
为
的关系,进而确定其为定值.
试题解析:(1)由题意可得,得
①.
又,即
②,
解①②,得,
∴椭圆的方程为
.
(2)由(1)知,设
,则
直线的方程为
,令
,得
.
直线的方程为
,令
,得
.
设,则
=
,
,
∴=
.
∵,即
,
∴=
,∴
,即线段
的长为定值2.
给定椭圆.称圆心在原点O,半径为
的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为
,其短轴上的一个端点到F的距离为
.
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程;
(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过动点P作直线,使得
与椭圆C都只有一个交点,试判断
是否垂直?并说明理由.
正确答案
(1) ; (2)
垂直.
试题分析:(1)由“椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到F的距离为
”知:
从而可得椭圆的标准方程和“准圆”的方程;
(2)分两种情况讨论:①当中有一条直线斜率不存在;②直线
斜率都存在.
对于①可直接求出直线的方程并判断其是不互相垂直;
对于②设经过准圆上点与椭圆只有一个公共点的直线为
与椭圆方程联立组成方程组消去
得到关于
的方程:
由化简整理得:
而直线的斜率正是方程的两个根
,从而
试题解析:(1)
椭圆方程为
准圆方程为
(2)①当中有一条无斜率时,不妨设
无斜率,
因为与椭圆只有一个共公点,则其方程为
当方程为
时,此时
与准圆交于点
此时经过点(或
)且与椭圆只有一个公共眯的直线是
(或
)
即为
(或
),显然直线
垂直;
同理可证方程为
时,直线
也垂直.
②当都有斜率时,设点
其中
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为
则由消去
,得
由化简整理得:
因为,所以有
设的斜率分别为
,因为
与椭圆只有一个公共点
所以满足上述方程
所以,即
垂直,
综合①②知, 垂直.
已知椭圆左、右焦点分别为F1、F2,点P(2,
),点F2在线段PF1的中垂线上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线与椭圆C交于M、N两点,直线F2M与F2N的斜率互为相反数,求证:直线l过定点,并求该定点的坐标.
正确答案
(1);(2)详见解析.
试题分析:(1)根据椭圆的离心率求得a和c的关系,进而根据椭圆C的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)又点F2在线段PF1的中垂线上,推断|F1F2|=|PF2|,进而求得c,则a和b可得,进而求得椭圆的标准方程.(2)设直线MN方程为y=kx+m,与椭圆方程联立消去y,设M(x1,y1),N(x2,y2),根据韦达定理可表示出x1+x2和x1x2,表示出直线F2M和F2N的斜率,由直线F2M与F2N的斜率互为相反数,可推断两直线斜率之和为0,把x1+x2和x1x2代入即可求得k和m的关系,代入直线方程进而可求得直线过定点.
解:(1)由椭圆C的离心率得
,其中
,椭圆C的左、右焦点分别为
又点F2在线段PF1的中垂线上
解得
(2)由题意,知直线MN存在斜率,设其方程为
由
消去设
则且
(8分)
由已知,得
化简,得
(10分)
整理得
直线MN的方程为
,
因此直线MN过定点,该定点的坐标为(2,0) (12分).
给定椭圆C:=1(a>b>0),称圆心在原点O、半径是
的圆为椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为F(
,0),其短轴的一个端点到点F的距离为
.
(1)求椭圆C和其“准圆”的方程;
(2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点,B、D是椭圆C上的两相异点,且BD⊥x轴,求·
的取值范围;
(3)在椭圆C的“准圆”上任取一点P,过点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个交点,试判断l1,l2是否垂直?并说明理由.
正确答案
(1)x2+y2=4(2)[0,7+4)(3)对于椭圆C上的任意点P,都有l1⊥l2.
(1)由题意知c=,且a=
=
,可得b=1,故椭圆C的方程为
+y2=1,其“准圆”方程为x2+y2=4.
(2)由题意,可设B(m,n),D(m,-n)(-),则有
+n2=1,又A点坐标为(2,0),故
=(m-2,n),
=(m-2,-n),故
·
=(m-2)2-n2=m2-4m+4-
=
m2-4m+3=
,又-
,故
∈[0,7+4
],所以
·
的取值范围是[0,7+4
).
(3)设P(s,t),则s2+t2=4.当s=±时,t=±1,则l1,l2其中之一斜率不存在,另一斜率为0,显然有l1⊥l2.当s≠±
时,设过P(s,t)且与椭圆有一个公共点的直线l的斜率为k,则l的方程为y-t=k(x-s),代入椭圆C方程可得x2+3[kx+(t-ks)]2=3,即(3k2+1)x2+6k(t-ks)x+3(t-ks)2-3=0,由Δ=36k2(t-ks)2-4(3k2+1)[3(t-ks)2-3]=0,可得(3-s2)k2+2stk+1-t2=0,其中3-s2=0,设l1,l2的斜率分别为k1,k2,则k1,k2是上述方程的两个根,故k1k2=
=-1,即l1⊥l2.综上可知,对于椭圆C上的任意点P,都有l1⊥l2.
如图,点是椭圆
的一个顶点,
的长轴是圆
的直径,
、
是过点
且互相垂直的两条直线,其中
交圆
于
、
两点,
交椭圆
于另一点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求面积的最大值及取得最大值时直线
的方程.
正确答案
(1);当直线
的方程为
时,
的面积取最大值
.
试题分析:(1)首先根据题中条件求出和
的值,进而求出椭圆
的方程;(2)先设直线
的方程为
,先利用弦心距、半径长以及弦长之间满足的关系(勾股定理)求出直线
截圆
所得的弦长
,然后根据直线
与
两者所满足的垂直关系设直线
,将直线
的方程与椭圆的方程联立,求出直线
截椭圆
的弦长
,然后求出
的面积的表达式,并利用基本不等式求出
的面积的最大值,并求出此时直线
的方程.
试题解析:(1)由题意得,
椭圆
的方程为
;
(2)设、
、
,
由题意知直线的斜率存在,不妨设其为
,则直线
的方程为
,
故点到直线
的距离为
,又圆
,
,
又,
直线
的方程为
,
由,消去
,整理得
,
故,代入
的方程得
,
设的面积为
,则
,
,
当且仅当,即
时上式取等号,
当
时,
的面积取得最大值
,
此时直线的方程为
已知椭圆的右焦点为F,A为短轴的一个端点,且
,
的面积为1(其中
为坐标原点).
(1)求椭圆的方程;
(2)若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点,动点M满足,连结CM,交椭圆于点
,证明:
为定值;
(3)在(2)的条件下,试问轴上是否存在异于点C的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
正确答案
(1).(2)见解析;(3)存在
,使得以
为直径的圆恒过直线
、
的交点.
试题分析:(1)由已知:,可得
,
,可得椭圆方程为
.
(2)由(1)知,设.根据
知
.
由消去
,整理得:
,
应用韦达定理得
利用平面向量的坐标运算即得(定值).
(3)以为直径的圆恒过
的交点,
由,建立Q坐标的方程.
试题解析:(1)由已知:,
,
,
所以椭圆方程为. 4分
(2)由(1)知,.
由题意可设.
由消去
,整理得:
,
.
,
(定值). 9分
(3)设.
若以为直径的圆恒过
的交点,
则.
由(2)可知:,
,
即恒成立,
∴存在,使得以
为直径的圆恒过直线
、
的交点. 13分
在平面直角坐标系中,已知点和
,圆
是以
为圆心,半径为
的圆,点
是圆
上任意一点,线段
的垂直平分线
和半径
所在的直线交于点
.
(1)当点在圆上运动时,求点
的轨迹方程
;
(2)已知,
是曲线
上的两点,若曲线
上存在点
,满足
(
为坐标原点),求实数
的取值范围.
正确答案
(1);(2)
.
试题分析:(1)由题意知知|QF|=|QP|,所以|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|EP|=>|EF|=2,由椭圆定义法知,Q点的轨迹是以E,F为焦点实轴长
的椭圆,求出
,写出点Q的轨迹方程;(2)设出M、N点坐标和直线MN方程,代入曲线T的方程,整理成关于x的二次方程,利用根与系数关系将
,
用参数表示出来,利用判别式大于0列出关于参数的不等式,再利用题中的向量条件用参数把P点坐标表示出来,代入曲线T的方程,得出关于参数的等式,代入判别式得到关于
的不等式,求出
的范围.
试题解析:(1)点在线段
的垂直平分线上,则
,又
,
则,故可得点
的轨迹方程
为
.
(2)令经过点的直线为
,则
的斜率存在,设直线
的方程为
,
将其代入椭圆方程整理可得
设,则
,故
(1)当时,点
关于原点对称,则
(2)当时,点
不关于原点对称,则
由,得
,故
则,因为
在椭圆上,故
化简,得,又
,故得
①
又,得
②
联立①②两式及,得
,故
且
综上(1)(2)两种情况,得实数的取值范围是
.
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