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简答题

在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆E:的左、右顶点分别为,上、下顶点分别为.设直线的倾斜角的正弦值为,圆与以线段为直径的圆关于直线对称.

(1)求椭圆E的离心率;

(2)判断直线与圆的位置关系,并说明理由;

(3)若圆的面积为,求圆的方程.

正确答案

(1),(2)相切,(3).

试题分析:(1)求椭圆E的离心率,只需列出关于的一个等量关系就可解出. 因为直线的倾斜角的正弦值为,所以,即,(2)判断直线与圆的位置关系,通常利用圆心到直线距离与半径大小比较. 因为直线的倾斜角的正弦值为,所以直线的斜率为于是的方程为:,因此中点到直线距离为所以直线与圆相切,又圆与以线段为直径的圆关于直线对称,直线与圆相切.(3)由圆的面积为知圆半径为1,所以关于直线的对称点为,则解得.所以,圆的方程为

【解】(1)设椭圆E的焦距为2c(c>0),

因为直线的倾斜角的正弦值为,所以

于是,即,所以椭圆E的离心率  

(2)由可设,则

于是的方程为:

的中点的距离,         又以为直径的圆的半径,即有

所以直线与圆相切.

(3)由圆的面积为知圆半径为1,从而,         

的中点关于直线的对称点为

解得.所以,圆的方程为

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简答题

在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F(4m,0)(m>0,m为常数),离心率等于0.8,过焦点F、倾斜角为θ的直线l交椭圆C于M、N两点.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)若θ=90°,,求实数m;

(3)试问的值是否与θ的大小无关,并证明你的结论.

正确答案

(1)=1.(2)m=(3)无关

(1)∵c=4m,椭圆离心率e=,∴a=5m.∴b=3m.

∴椭圆C的标准方程为=1.

(2)在椭圆方程=1中,令x=4m,解得y=±.

∵当θ=90°时,直线MN⊥x轴,此时FM=FN=,∴.

,∴,解得m=.

(3)的值与θ的大小无关.

证明如下:(证法1)设点M、N到右准线的距离分别为d1、d2.

,∴.

又由图可知,MFcosθ+d1-c=

∴d1,即.

同理,(-cosθ+1).

(-cosθ+1)=.

·.显然该值与θ的大小无关.

(证法2)当直线MN的斜率不存在时,由(2)知,的值与θ的大小无关.

当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为y=k(x-4m),

代入椭圆方程=1,得(25k2+9)m2x2-200m3k2x+25m4(16k2-9)=0.

设点M(x1,y1)、N(x2,y2),∵Δ>0恒成立,∴x1+x2,x1·x2.

,∴MF=5m-x1,NF=5m-x2.

.

显然该值与θ的大小无关.

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简答题

的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).

(1)求点P的坐标;

(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线交于A,B两点,若的面积为2,求C的标准方程.

正确答案

(1);(2)

试题分析:(1)首先设切点,由圆的切线的性质,根据半径的斜率可求切线斜率,进而可表示切线方程为,建立目标函数.故要求面积最小值,只需确定的最大值,由结合目标函数,易求;(2)设椭圆标准方程为,点在椭圆上,代入点得①,利用弦长公式表示,利用点到直线距离公式求高,进而表示的面积,与①联立,可确定,进而确定椭圆的标准方程.

(1)设切点坐标为.则切线斜率为.切线方程为.即.此时,两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积.由知当且仅当时,有最大值.即有最小值.因此点的坐标为

(2)设的标准方程为.点.由点上知.并由.又是方程的根,因此,由,得.由点到直线的距离为.解得.因此(舍)或

.从而所求的方程为

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简答题

已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,短轴的一个端点为M(0,1),直线l:y=kx-与椭圆相交于不同的两点A、B.

(1)若AB=,求k的值;

(2)求证:不论k取何值,以AB为直径的圆恒过点M.

正确答案

(1)k=±1.(2)见解析

(1)解:由题意知,b=1.由a2=b2+c2可得c=b=1,a=

∴椭圆的方程为+y2=1.由得(2k2+1)x2kx-=0.

Δ=k2-4(2k2+1)×=16k2>0恒成立,

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2,x1x2=-.

∴AB=·|x1-x2|=,化简得23k4-13k2-10=0,即(k2-1)(23k2+10)=0,解得k=±1.

(2)证明:∵=(x1,y1-1),=(x2,y2-1),

=x1x2+(y1-1)(y2-1)=(1+k2)x1x2k(x1+x2)+=-=0.∴不论k取何值,以AB为直径的圆恒过点M.

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简答题

已知椭圆C=1(ab>0)上任一点P到两个焦点的距离的和为2P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为-.设直线l过椭圆C的右焦点F,交椭圆C于两点A(x1y1),B(x2y2).

(1)若 (O为坐标原点),求|y1y2|的值;

(2)当直线l与两坐标轴都不垂直时,在x轴上是否总存在点Q,使得直线QAQB的倾斜角互为补角?若存在,求出点Q坐标;若不存在,请说明理由.

正确答案

(1)4(2)存在Q(3,0)

(1)由椭圆的定义知a,设P(xy),

则有,则=-

又点P在椭圆上,则=-

b2=2,

∴椭圆C的方程是=1.(3分)

|cos∠AOB

|sin∠AOB=4,

SAOB|sin∠AOB=2,

SAOB|y1y2|×1,故|y1y2|=4.(7分)

(2)假设存在一点Q(m,0),使得直线QAQB的倾斜角互为补角,

依题意可知直线l斜率存在且不为零,

直线l的方程为yk(x-1)(k≠0),

消去y得(3k2+2)x2-6k2x+3k2-6=0,(9分)

A(x1y1),B(x2y2),则x1x2x1·x2.

∵直线QAQB的倾斜角互为补角,

kQAkQB=0,即=0,(13分)

y1k(x1-1),y2k(x2-1),

代入上式可得2x1x2+2m-(m+1)(x1x2)=0,

∴2×+2m-(m+1)×=0,即2m-6=0,∴m=3,

∴存在Q(3,0)使得直线QAQB的倾斜角互为补角.(16分)

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简答题

如图,椭圆经过点,其左、右顶点分别是,左、右焦点分别是(异于)是椭圆上的动点,连接交直线两点,若成等比数列.

(1)求此椭圆的离心率;

(2)求证:以线段为直径的圆过点.

正确答案

(1)(2)见解析

试题分析:(1)由椭圆的几何意义知,由等比数列知,,即,两边同除以化为关于离心率的方程,求出离心率;(2)设出P点坐标,利用直线两点式方程写出直线PA,PB方程,通过解PA与及PB与方程分别组成的方程组,解出点M,N的坐标,再通过计算向量法=0,证明,证明为直径的圆过点.

试题解析:(1)由题意可知,成等比数列,所以

(2)由,椭圆经过点可知,椭圆方程为

,由题意可知

解得,则

故以线段为直径的圆过点.

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简答题

已知双曲线C:离心率是,过点,且右支上的弦过右焦点

(1)求双曲线C的方程;

(2)求弦的中点的轨迹E的方程;

(3)是否存在以为直径的圆过原点O?,若存在,求出直线的斜率k 的值.若不存在,则说明理由.

正确答案

(1);(2) ,(;(3) 这样的圆不存在.

试题分析:(1)由已知条件双曲线C:离心率是,过点,由此能求出双曲线C的标准方程.(2)设M(x,y),,将代入椭圆方程,再利用“点差法”即可求出M的轨迹方程;(3)设由已知得:,将联立,得,将代入,即可得出结论.

(1).

(2),()-------6分 注:没有扣1分

(3)假设存在,设

由已知得:

       ①

所以       ②

联立①②得:无解

所以这样的圆不存在.        12分

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简答题

如图,已知点为椭圆右焦点,圆与椭圆的一个公共点为,且直线与圆相切于点.

(1)求的值及椭圆的标准方程;

(2)设动点满足,其中M、N是椭圆上的点,为原点,直线OM与ON的斜率之积为,求证:为定值.

正确答案

(1);(2)证明过程详见解析.

试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程以及几何性质等基础知识,考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问,由椭圆C过点(0,1)点,所以得到,由,得,在直角三角形AFB中,利用勾股定理求参数a,c的值,从而得到椭圆的标准方程;第二问,设出点M,N,P的坐标,代入到中,得到的关系,得到的关系,又由于点M,N在椭圆上,代入椭圆方程中,得到关系式,都代入到所求的式子中,化简得到定值.

试题解析:(1)由题意可知,又.又 .   2分

中,

故椭圆的标准方程为:            6分

(2)设

∵M、N在椭圆上,∴

又直线OM与ON的斜率之积为,∴

于是

.故为定值.    13分

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简答题

已知椭圆的离心率为,其长轴长与短轴长的和等于6.

(1)求椭圆的方程;

(2)如图,设椭圆的上、下顶点分别为是椭圆上异于的任意一点,直线分别交轴于点,若直线与过点的圆相切,切点为.证明:线段的长为定值.

正确答案

(1);(2)定值为2,证明见解析.

试题分析:(1)根据椭圆的离心率、长轴与短轴的关系建立的方程可求得椭圆的方程;;(2)设,然后用此点坐标分别表示出的方程,然后根据直线与圆相切性质、平面几何知识化的关系,进而确定其为定值.

试题解析:(1)由题意可得,得  ①.

,即   ②,

解①②,得

∴椭圆的方程为

(2)由(1)知,设,则

直线的方程为,令,得

直线的方程为,令,得

,则

,即

,∴,即线段的长为定值2.

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简答题

给定椭圆.称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到F的距离为

(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程;

(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过动点P作直线,使得与椭圆C都只有一个交点,试判断是否垂直?并说明理由.

正确答案

(1) ; (2) 垂直.

试题分析:(1)由“椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到F的距离为”知:从而可得椭圆的标准方程和“准圆”的方程;

(2)分两种情况讨论:①当中有一条直线斜率不存在;②直线斜率都存在.

对于①可直接求出直线的方程并判断其是不互相垂直;

对于②设经过准圆上点与椭圆只有一个公共点的直线为

与椭圆方程联立组成方程组消去得到关于的方程:

化简整理得:

而直线的斜率正是方程的两个根,从而

试题解析:(1)

椭圆方程为

准圆方程为

(2)①当中有一条无斜率时,不妨设无斜率,

因为与椭圆只有一个共公点,则其方程为

方程为时,此时与准圆交于点

此时经过点(或)且与椭圆只有一个公共眯的直线是(或

(或),显然直线垂直;

同理可证方程为时,直线也垂直.

②当都有斜率时,设点其中

设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为

则由消去,得

化简整理得:

因为,所以有

的斜率分别为,因为与椭圆只有一个公共点

所以满足上述方程

所以,即垂直,

综合①②知, 垂直.

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简答题

已知椭圆左、右焦点分别为F1、F2,点P(2,),点F2在线段PF1的中垂线上.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设直线与椭圆C交于M、N两点,直线F2M与F2N的斜率互为相反数,求证:直线l过定点,并求该定点的坐标.

正确答案

(1);(2)详见解析.

试题分析:(1)根据椭圆的离心率求得a和c的关系,进而根据椭圆C的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)又点F2在线段PF1的中垂线上,推断|F1F2|=|PF2|,进而求得c,则a和b可得,进而求得椭圆的标准方程.(2)设直线MN方程为y=kx+m,与椭圆方程联立消去y,设M(x1,y1),N(x2,y2),根据韦达定理可表示出x1+x2和x1x2,表示出直线F2M和F2N的斜率,由直线F2M与F2N的斜率互为相反数,可推断两直线斜率之和为0,把x1+x2和x1x2代入即可求得k和m的关系,代入直线方程进而可求得直线过定点.

解:(1)由椭圆C的离心率,其中,椭圆C的左、右焦点分别为又点F2在线段PF1的中垂线上

解得

        

(2)由题意,知直线MN存在斜率,设其方程为

消去

       (8分)

由已知,得

化简,得

       (10分)

 整理得

 直线MN的方程为

因此直线MN过定点,该定点的坐标为(2,0) (12分).

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简答题

给定椭圆C:=1(a>b>0),称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为F(,0),其短轴的一个端点到点F的距离为.

(1)求椭圆C和其“准圆”的方程;

(2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点,B、D是椭圆C上的两相异点,且BD⊥x轴,求·的取值范围;

(3)在椭圆C的“准圆”上任取一点P,过点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个交点,试判断l1,l2是否垂直?并说明理由.

正确答案

(1)x2+y2=4(2)[0,7+4)(3)对于椭圆C上的任意点P,都有l1⊥l2.

(1)由题意知c=,且a=,可得b=1,故椭圆C的方程为+y2=1,其“准圆”方程为x2+y2=4.

(2)由题意,可设B(m,n),D(m,-n)(-),则有+n2=1,又A点坐标为(2,0),故=(m-2,n),=(m-2,-n),故·=(m-2)2-n2=m2-4m+4-m2-4m+3=,又-,故∈[0,7+4],所以·的取值范围是[0,7+4).

(3)设P(s,t),则s2+t2=4.当s=±时,t=±1,则l1,l2其中之一斜率不存在,另一斜率为0,显然有l1⊥l2.当s≠±时,设过P(s,t)且与椭圆有一个公共点的直线l的斜率为k,则l的方程为y-t=k(x-s),代入椭圆C方程可得x2+3[kx+(t-ks)]2=3,即(3k2+1)x2+6k(t-ks)x+3(t-ks)2-3=0,由Δ=36k2(t-ks)2-4(3k2+1)[3(t-ks)2-3]=0,可得(3-s2)k2+2stk+1-t2=0,其中3-s2=0,设l1,l2的斜率分别为k1,k2,则k1,k2是上述方程的两个根,故k1k2=-1,即l1⊥l2.综上可知,对于椭圆C上的任意点P,都有l1⊥l2.

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简答题

如图,点是椭圆的一个顶点,的长轴是圆的直径,是过点且互相垂直的两条直线,其中交圆两点,交椭圆于另一点.

(1)求椭圆的方程;

(2)求面积的最大值及取得最大值时直线的方程.

正确答案

(1);当直线的方程为时,的面积取最大值.

试题分析:(1)首先根据题中条件求出的值,进而求出椭圆的方程;(2)先设直线的方程为,先利用弦心距、半径长以及弦长之间满足的关系(勾股定理)求出直线截圆所得的弦长

,然后根据直线两者所满足的垂直关系设直线,将直线的方程与椭圆的方程联立,求出直线截椭圆的弦长,然后求出的面积的表达式,并利用基本不等式求出的面积的最大值,并求出此时直线的方程.

试题解析:(1)由题意得椭圆的方程为

(2)设

由题意知直线的斜率存在,不妨设其为,则直线的方程为

故点到直线的距离为,又圆

直线的方程为

,消去,整理得

,代入的方程得

的面积为,则

当且仅当,即时上式取等号,

时,的面积取得最大值

此时直线的方程为

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简答题

已知椭圆的右焦点为FA为短轴的一个端点,且的面积为1(其中为坐标原点).

(1)求椭圆的方程;

(2)若CD分别是椭圆长轴的左、右端点,动点M满足,连结CM,交椭圆于点,证明:为定值;

(3)在(2)的条件下,试问轴上是否存在异于点C的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线DPMQ的交点,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.

正确答案

(1).(2)见解析;(3)存在,使得以为直径的圆恒过直线的交点.

试题分析:(1)由已知:,可得,,可得椭圆方程为.

(2)由(1)知,设.根据.

消去,整理得:,

应用韦达定理得

利用平面向量的坐标运算即得(定值).

(3)以为直径的圆恒过的交点,

,建立Q坐标的方程.

试题解析:(1)由已知:,,,

所以椭圆方程为.          4分

(2)由(1)知,.

由题意可设.

消去,整理得:,

.,

(定值).    9分

(3)设.

若以为直径的圆恒过的交点,

.

由(2)可知:,

,

恒成立,

∴存在,使得以为直径的圆恒过直线的交点.          13分

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简答题

在平面直角坐标系中,已知点,圆是以为圆心,半径为的圆,点是圆上任意一点,线段的垂直平分线和半径所在的直线交于点.

(1)当点在圆上运动时,求点的轨迹方程

(2)已知是曲线上的两点,若曲线上存在点,满足为坐标原点),求实数的取值范围.

正确答案

(1);(2).

试题分析:(1)由题意知知|QF|=|QP|,所以|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|EP|=>|EF|=2,由椭圆定义法知,Q点的轨迹是以E,F为焦点实轴长的椭圆,求出,写出点Q的轨迹方程;(2)设出M、N点坐标和直线MN方程,代入曲线T的方程,整理成关于x的二次方程,利用根与系数关系将用参数表示出来,利用判别式大于0列出关于参数的不等式,再利用题中的向量条件用参数把P点坐标表示出来,代入曲线T的方程,得出关于参数的等式,代入判别式得到关于的不等式,求出的范围.

试题解析:(1)点在线段的垂直平分线上,则,又

,故可得点的轨迹方程.

(2)令经过点的直线为,则的斜率存在,设直线的方程为

将其代入椭圆方程整理可得

,则,故

(1)当时,点关于原点对称,则

(2)当时,点不关于原点对称,则

,得,故

,因为在椭圆上,故

化简,得,又,故得     ①

,得       ②

联立①②两式及,得,故

综上(1)(2)两种情况,得实数的取值范围是.

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