圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

（ 12分）如图，椭圆的方程为，其右焦点为F，把椭圆的长轴分成6等分，过每个等分点作x轴的垂线交椭圆上半部于点P1，P2，P3，P4，P5五个点，且|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|=5.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线l过F点（l不垂直坐标轴），且与椭圆交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M（m,0），试求m的取值范围.

正确答案

解：（1）由题意，知

设椭圆的左焦点为F1，则|P1F|+|P5F|=|P1F|+|P1F1|=2a，

同时|P2F|+|P3F|=2a而|P3F|=a

∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|=5a=5

（2）由题意， F（1，0），设l的方程为

整理，得因为l过椭圆的右焦点，

设，

则

令

由于

略

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题型：填空题

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填空题

设中心在原点的椭圆离心率为e，左、右两焦点分别为F1、F2，抛物线以F2为焦点，点P为抛物线和椭圆的一个交点，若PF2与x轴成45°，则e的值为 ▲ ．

正确答案

抛物线以F2为焦点得c=1，PF2与x轴成45°得PF2方程y=x+1，从而得点P(1,2)，得直角三角形，得，

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题型：简答题

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简答题

（10分）已知椭圆

（1）求椭圆的焦点顶点坐标、离心率及准线方程；

（2）斜率为1的直线l过椭圆上顶点且交椭圆于A、B两点，求|AB|的长

正确答案

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题型：简答题

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简答题

(本小题满分12分)如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），

右准线l的方程为：x = 12。

（1）求椭圆的方程；(4分)

（2）在椭圆上任取三个不同点，使，

证明: 为定值，并求此定值。(8分)

正确答案

解：（I）设椭圆方程为．

因焦点为，故半焦距．

又右准线的方程为，从而由已知

，

因此，．

故所求椭圆方程为．

（II）记椭圆的右顶点为，并设（1，2，3），不失一般性，

假设，且，．

又设点在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有

．

解得．

因此

，

而

，

故为定值．

解：（I）设椭圆方程为．

因焦点为，故半焦距．

又右准线的方程为，从而由已知

，

因此，．

故所求椭圆方程为．

（II）记椭圆的右顶点为，并设（1，2，3），不失一般性，

假设，且，．

又设点在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有

．

解得．

因此

，

而

，

故为定值．

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题型：简答题

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简答题

已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点.

（Ⅰ）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；

（Ⅱ）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

正确答案

(Ⅰ)，或 (Ⅱ)

（Ⅰ）解：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，

将代入，消去整理得 ………….. 2分

设则 ………….. 4分

由线段中点的横坐标是，得，解得，适合. ….. 5分

所以直线的方程为，或. ….. 6分

（Ⅱ）解：假设在轴上存在点，使为常数.

①当直线与轴不垂直时，由（Ⅰ）知

所以

………….. 8分

将代入，整理得

注意到是与无关的常数，从而有，此时 .. 10分

②当直线与轴垂直时，此时点的坐标分别为，

当时，亦有

综上，在轴上存在定点，使为常数. ……………….. 12分

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）

如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．

过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上，由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知，，试建立适当的坐标系，求截口所在椭圆的方程．

正确答案

。

本试题主要是考查了椭圆方程的求解以及直线与椭圆位置关系的综合运用。

首先建立直角坐标系，然后利用设出的方程，结合三角形因为在中，,

，所以，

从而解得。

如图，建立平面直角坐标系，

设截口所在椭圆的方程为：

因为在中，,

，所以，

又，。所以椭圆方程为 ………………12分

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到

两个焦点的距离之和为，离心率.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆的左、右焦点分别为、，过点的直线与该椭圆交于点、,

以、为邻边作平行四边形，求该平行四边形对角线的长度

的最大值.

正确答案

20．解：（Ⅰ）设椭圆方程为,由已知得,

,从而椭圆方程为. ---------------------------- 4´

（Ⅱ）由上知. -- ---------------------------------------------- 5´

①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，将代入椭圆得.

由对称性，不妨设，则，

从而 ------------------------------------------------------------------------- 7´

②若直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为.

设，由消去得，

， - - ---------------------------------------- 9´

则， ------------------------ 10´

又由得，

.

从而- -------------------------------- -------------------------------------- 13´

综上知，平行四边形对角线的长度的最大值是4. - ---------------------------- 14´

略

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）

已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

⑴求椭圆C的方程；

⑵设，是椭圆上的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围．

正确答案

（1）；（2）

略

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）标准椭圆的两焦点为，在椭圆上，且. （1）求椭圆方程；（2）若N在椭圆上，O为原点，直线的方向向量为，若交椭圆于A、B两点，且NA、NB与轴围成的三角形是等腰三角形(两腰所在的直线是NA、NB)，则称N点为椭圆的特征点，求该椭圆的特征点.

正确答案

(Ⅰ) (Ⅱ)

(1)在中，知

则解得椭圆方程为 ………4分

(2)设（m≠0），为，

由与得 ………6分

由点在椭圆上知，代入得

∴ ，① …………8分

∴

将①式代入得

又∵NA、NB与轴围成的三角形是等腰三角形得，…………10分

∴代入得 …12分

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题型：简答题

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简答题

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）设直线与曲线C恒有公共点，求的取值范围.

正确答案

(1)（）(2)

（1）设，由，得，……2分

由得，即， ……5分

由于点P在轴的正半轴上，所以，

故点M的轨迹C的方程为（） ……7分

（2）由得， ……9分

得，，……10分

因为（）表示椭圆在轴右边部分.

椭圆的上顶点，

所以数形结合得

所以的取值范围为. ……14分

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题型：简答题

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简答题

.(12分)已知椭圆的中心在原点,分别为它的左、右焦点,直线为它的一条准线,又知椭圆上存在点,使得.

(1)求椭圆的方程;

(2)若是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意两点,点关于轴的对称点是,直线分别交轴于点,点,探究是否为定值,若为定值,求出该定值,若不为定值,请说明理由.

正确答案

(1)设 ∴ 又. ∴为短轴顶点.

由 ∴ ∴,

为等边三角形.

∴ ∴ ∴ 方程:

(2)令

,令可得

同理:∴为定值

略

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题型：填空题

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填空题

椭圆的焦距为，准线之间的距离是，则椭圆的标准方程是。

正确答案

，，∴，∴，，，故椭圆的方程为：。

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题型：填空题

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填空题

设F1、F2为曲线C1：+ =1的焦点，P是曲线：与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为_____________

正确答案

.

由得,.

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）

给定椭圆：. 称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”. 若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.

（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；

（2）点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线，使得与椭圆都只有一个交点，试判断是否垂直？并说明理由.

正确答案

解：（1），

椭圆方程为， ………… 4分

准圆方程为. ……………………5分

（2）①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，

因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为，

当方程为时，此时与准圆交于点，

此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是（或），即为（或），显然直线垂直；

同理可证方程为时，直线也垂直. ………………8分

②当都有斜率时，设点，其中.

设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，

则由消去，得

. ………10分

由化简整理得：.

因为，所以有 . …11分

设的斜率分别为，因为与椭圆只有一个公共点，

所以满足上述方程，

所以，即垂直. …………………13分

综合①②知垂直. ……………………14分

略

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题型：简答题

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简答题

（普通班）已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．

（实验班）已知函数R)．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的的切线方程；

（Ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围．

正确答案

（实验班）（Ⅰ）解：当时，．

，

因为切点为（），则，

所以在点（）处的曲线的切线方程为：．

（Ⅱ）解法一：由题意得，即．

，

因为，所以恒成立，

故在上单调递增，

要使恒成立，则，解得．

解法二：

（1）当时，在上恒成立，故在上单调递增，

即．

（2）当时，令，对称轴，

则在上单调递增，又

① 当，即时，在上恒成立，

所以在单调递增，

即，不合题意，舍去

②当时，，不合题意，舍去

综上所述：

20．(普通班)解：（1）∵焦距为4，∴ c=2………………………………………………1分

又∵的离心率为……………………………… 2分

∴，∴a=，b=2………………………… 4分

∴标准方程为………………………………………6分

（2）设直线l方程：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

由得……………………7分

∴x1+x2=，x1x2=

由（1）知右焦点F坐标为（2，0），∵右焦点F在圆内部，∴＜0…………8分

∴（x1 -2）（x2-2）+ y1y2＜0

即x1x2-2（x1+x2）+4+k2 x1x2+k（x1+x2）+1＜0…………………… 9分

∴＜0…………… 11分

∴k＜……… 12分

经检验得k＜时，直线l与椭圆相交，∴直线l的斜率k的范围为（-∞，）……13分

略

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