热门试卷

（1）由于点（x，y） 满足+=6，即点（x，y） 到两个定点（-，0）、（，0）的距离之和等于常数6，

由椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且 a=3，c=，故b=2，故椭圆的标准方程为  +=1．

（2）由于 |MT|2=f(x)=(x-t)2+y2=(x-t)2+4(1-)，0≤x≤3，

记f(x)=(x-t)2+4(1-)=(x-t)2-t2+4，0≤x≤3．

①当0≤t＜3，即0＜t＜时，=f(t)=-t2+4，又=1，

∴-t2+4=1，解得t=，而t=∉(0，)，故舍去．

②当t≥3，即≤t＜3时，=f(3)=t2-6t+9，又=1，

∴t2-6t+9=1，解得t=2或t=4，而4∉[，3)，2∈[，3)，故t=4不符合题意，t=2符合题意．

综上可知，t=2．

（1）由题意有F1(-c，0)，F2(c，0)，l：x=．（2分）

设A(，y0)，由△AF1F2为等腰三角形，则只能是F1F2=F2A，又F2A＞-c，

即2c＞-c，所以＜e＜1．（6分）

（2）由题意得椭圆的方程为+y2=1，其离心率为＞，此时F1（-1，0），F2（1，0），l：x=2．

由F1F2=F2A，可得y0=．（10分）

设内切圆的圆心B（x1，y1），AF1：x-y+1=0，BF2：y=-(x-1)，

因为△AF1F2为等腰三角形，所以△AF1F2的内切圆的圆心点B到AF1的距离等于点B到x轴的距离，即=y1，①

由点B在直线BF2上，所以y1=-(x1-1)，②

由①②可得

所以△AF1F2的内切圆的方程为(x+1-)2+(y+3-2)2=(2-3)2．（16分）

（1）设过点P的切线斜率为k，方程为y-2=k（x-2），即kx-y-2k+2=0；

∵其与圆相切，则=1，化简得3k2-8k+3=0，

∴k1•k2=1．

（2）设点P坐标为（x0，y0），过点P的切线斜率为k，

则方程为y-y0=k（x-x0），即kx-y-2k+2=0，

∵其与圆相切，∴=1，化简得（x02-1）k2-2x0y0+（y02-1）=0，

∵k1，k2存在，

则x0≠1且x0≠-1，△=（2x0y0）2-4（x02-1）（y02-1）=4（x02+y02）-4＞0，

∵k1，k2是方程的两个根，

∴k1•k2==-λ，化简得λx02+y02=λ+1．

即所求的曲线M的方程为：λx2+y2=λ+1（x≠±1）；

若λ∈（-∞，-1）时，所在圆锥曲线M是焦点在x轴上的双曲线；

若λ∈（-1，0）时，所在圆锥曲线M是焦点在y轴上的双曲线；

若λ∈（0，1），M所在圆锥曲线M是焦点在x轴上的椭圆；

若λ=1时，M所在曲线M是圆；

若λ∈（1，+∞）时，所在圆锥曲线M是焦点在y轴上的椭圆．

解法一：

令椭圆方程为，由题得：，

由可得，

又即  

椭圆方程为

解法二：

令椭圆方程为，由题得：，

由作差得

又即  

椭圆方程为

 椭圆中心定，焦点定，所以椭圆的位置定，而且由准线方程可得一个方程，还有一个方程怎么找？根据直线与椭圆相交，可联立方程组，利用韦达定理解决，事实上就是把交点问题化归为方程根的问题，有关中点问题还可设弦的两端点坐标代入椭圆方程相减，式中含有三个未知量，但直接联系了中点和直线的斜率，同样可得到a与b的关系（点差法）从而解决问题，但两者又各有弊端：韦达定理解决过程中易漏解，需关注直线的斜率问题；点差法则在确定范围方面略显不足。

（1）略   （2）

（1）由，得，

设，即，又

，代入，得，故      

（2），而  代入得            

所以椭圆长轴的取值范围是.              

（Ⅰ）设点A、B、P的坐标分别为（a，0）、（0，b）、（x，y），

则即

由|AB|=2得a2+b2=4，

所以曲线C的方程为+=1．（5分）

（Ⅱ）设M（x1，y1），N（-x1，-y1），

则|MN|=2．

当x1≠0时，设直线MN的方程为y=x，

则点Q到直线MN的距离h=，

∴△QMN的面积S=•2•=|y1-3x1|．（11分）

∴S2=|y1-3x1|2=9x12+y12-9x1y1．

又∵+=1，

∴9x12+y12=4．

∴S2=4-9x1y1．

而1=+≥-2••=-，

则-9x1y1≤4．

即S2≤8，S≤2．

当且仅当=-时，

即x1=-y1时，“=”成立．

当x1=0时，|MN|=2•=，

∴△QMN的面积S=••=2．

∴S有最大值2．（14分）

解:（Ⅰ）由题意椭圆的长轴2=4，得a=2，    ……………………………………1分

点在椭圆上，    ……………………………………3分

∴椭圆的方程为……………………………………………………………4分

（Ⅱ）由直线l与圆O相切得 ……………………………5分

设，由消去，

整理得 ………………………………………-6分

由题可知圆O在椭圆内，所以直线必与椭圆相交   …………………………7分

      ……………………………………………8分

=

== ……………………………9分

…………………………10分

         …………………………………11分

…………12分

（Ⅰ）设点A（a，0），B（0，b），C（x，y），

∵=t，即（x-a，y）=t（-x，b-y），即（2分）

则．

又∵|AB|=2，即a2+b2=4．

∴+=1．

∴点P的轨迹方程C：+=1．（5分）

（Ⅱ）∵曲线C为焦点在x轴上的椭圆，

∴＞，得t2＜1．

又∵t＞0，∴0＜t＜1．（8分）

（Ⅲ）当t=2时，曲线C的方程为+=1．（9分）

设M（x1，y1），N（-x1，-y1），则|MN|=2．

当x1≠0时，设直线MN的方程为y=x，

则点Q到直线MN的距离h=，

∴△QMN的面积S=•2•=|y1-3x1|．（11分）

∴S2=|y1-3x1|2=9x12+y12-9x1y1．

又∵+=1，

∴9x12+y12=4．

∴S2=4-9x1y1．

而1=+≥-2••=-，

则-9x1y1≤4．即S2≤8，S≤2．

当且仅当=-时，

即x1=-y1时，“=”成立．

当x1=0时，|MN|=2•=，

∴△QMN的面积S=••=2．

∴S有最大值2．（14分）

（1）=(x，1)，=(x，-2)，=(x+，y)，=(x-，y)

∵λ2•=•∴（x2-2）λ2=x2-2+y2化简得：（1-λ2）x2+y2=2（1-λ2）

①λ=±1时方程为y=0轨迹为一条直线

②λ=0时方程为x2+y2=2轨迹为圆

③λ∈（-1，0）∪（0，1）时方程为+=1轨迹为椭圆

④．λ∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时方程为-=1轨迹为双曲线

（2）∵λ=，∴P点轨迹方程为+y2=1，

∴S△OBE=×2×|x1|，S△OBF=×2×|x2|

∴S△OBE：S△OBF=|x1|：|x2|

设直线EF直线方程为y=kx+2，联立方程可得：（1+2k2）x2+8kx+6=0．

∴△=64k2-24-48k2＞0，∴k2＞.x1+x2=-，x1•x2=，

∴==++2，∵k2＞，∴∈(4，)

∴∈(，1)∪(1，3)

由题意可知：S△OBE＜S△OBF，所以∈(，1)．