热门试卷

（1）S1=a1=1.S2=，S3==，S4=，猜想Sn=（n∈N*）. 

（2）见解析

本题主要考查了数列的递推式．数列的递推式是高考中常考的题型，涉及数列的通项公式，求和问题，数列与不等式的综合等问题．

（1）先根据数列的前n项的和求得S1，S2，S3，S4，可知分母和分子分别是等差数列进而可猜想出Sn．

（2）利用an=Sn-Sn-1，整理出an的递推式，进而用叠乘法求得an．

（1）解 ∵an=Sn-Sn-1（n≥2）

∴Sn=n2（Sn-Sn-1），∴Sn=Sn-1（n≥2）

∵a1=1，∴S1=a1=1.

∴S2=，S3==，S4=，                    ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

猜想Sn=（n∈N*）.                      ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分

（2）证明 ①当n=1时，S1=1成立.

②假设n=k（k≥1,k∈N*）时，等式成立，即Sk=，

当n=k+1时，

Sk+1=（k+1）2·ak+1=ak+1+Sk=ak+1+，           

∴ak+1=，

∴Sk+1=（k+1）2·ak+1==，

∴n=k+1时等式也成立，得证.

∴根据①、②可知，对于任意n∈N*，等式均成立.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分

又∵ak+1=，∴an=.              ┄┄┄┄┄┄┄┄┄16分

(1) ，猜想：；(2)证明：见解析。

本试题主要是考查了数列的递推关系式的运用，以及归纳猜想思想的运用，并运用数学归纳法加以证明的综合运用。首先先分析前几项，然后发现规律得到通项公式，分两步进行证明。

(1) ………………….（4分）

猜想：………………（6分）

(2)证明：i）当时，，猜想成立………………….（8分）

ii)假设当时，猜想成立，即

那么，当时，

这说明当时，猜想也成立.

由i），ii)知，对………………….（12分）

a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.证明见解析.

猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2，n∈N*.     

主要考查了数列的通项公式和数学归纳法的运用。

由条件得2bn＝an＋an＋1，＝bnbn＋1，

由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.

猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2，n∈N*.

用数学归纳法证明：

①当n＝1时，由已知a1＝2，b1＝4可得结论成立．

②假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时，结论成立，即

ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，

那么当n＝k＋1时，

ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，

bk＋1＝＝＝(k＋2)2.

解：由条件得2bn＝an＋an＋1，＝bnbn＋1，

由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.

猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2，n∈N*.                     4分

用数学归纳法证明：

①当n＝1时，由已知a1＝2，b1＝4可得结论成立．

②假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时，结论成立，即

ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，

那么当n＝k＋1时，

ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，

bk＋1＝＝＝(k＋2)2.

所以当n＝k＋1时，结论也成立．

由①②可知，an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切n∈N*都成立．     10分