热门试卷

（Ⅰ）∵=an(n∈N*)，∴bn===4bn+1，

∴=

∵a1=3，b1=

∴数列{bn}是以为首项，为公比的等比数列

∴bn=；

（Ⅱ）∵bn=，∴an=

∵（4n-1）an≥t•2n+1-17对任意n∈N*恒成立，

∴t≤=2n+对任意n∈N*恒成立

∵y=m+(m＞0)在（0，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增

∴(2n+

9

2n

)min=min{2+，4+}=

∴t≤

∴实数t的取值范围是(-∞，]；

（Ⅲ）∵cn==1-，

猜想(1-)(1-)  …  (1-)≥1-(++ …+)

用数学归纳法证明：

①n=1时，左边==右边；n=2时，左边=，右边=，左边＞右边；

②假设n=k（k≥2）时结论成立，即(1-)(1-)  …  (1-)≥1-(++ …+)

则n=k+1时，左边=(1-)(1-)  …  (1-)(1-)≥[1-(++ …+)](1-)

＞1-(++ …+)=右边

由①②知，猜想(1-)(1-)  …  (1-)≥1-(++ …+)成立

又++ …+＜=

∴c1•c2•c3…cn=(1-)(1-)  …  (1-)≥1-(++ …+)＞1-＞

∴c1•c2•c3…cn＞

证明：由已知，得Sn=3n-1

要证明≤等价于≤即3n≥2n+1（*）

（方法一）用数学归纳法证明

①当n=1时，左边=3，右边=3，所以（*）式成立

②假设当n=k时（*）成立，即3k≥2k+1

那么当n=k+1时，3k+1=3×3k≥3（2k+1）=6k+3≥2k+3=2（k+1）+1

所以当n=k+1时（*）也成立

综合①②可得，3n≥2n+1

≤

（法二）当n=1时，左边=，右边=4，所以（*）成立

当n≥2时，3n=（1+2）n=Cn0+2Cn1+22Cn2+…+2nCnn=1+2n+…＞1+2n

所以≤

（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．

①当n=1时，因为a2是方程x2+x-1=0的正根，所以a1＜a2．

②假设当n=k（k∈N*）时，ak＜ak+1，

因为ak+12-ak2=（ak+22+ak+2-1）-（ak+12+ak+1-1）=（ak+2-ak+1）（ak+2+ak+1+1），

所以ak+1＜ak+2．

即当n=k+1时，an＜an+1也成立．

根据①和②，可知an＜an+1对任何n∈N*都成立．

（Ⅱ）证明：由ak+12+ak+1-1=ak2，k=1，2，…，n-1（n≥2），

得an2+（a2+a3+…+an）-（n-1）=a12．

因为a1=0，所以Sn=n-1-an2．

由an＜an+1及an+1=1+an2-2an+12＜1得an＜1，

所以Sn＞n-2．

解：（1）

因为，

所以。

（2）f（x）是奇函数。

证明：因为，

所以

因此，f（x）为奇函数。

（3）证明：先用数学归纳法证明

（i）当n=1时，；

（ii）假设当n=k时，

那么当n=k+1时，

由以上两步可知，对任意

因为

所以。