- 用数学归纳法证明不等式
- 共357题
已知各项均为正数的数列{an}满足an+12=2an2+anan+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*，
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)设数列{bn}的前n项和为Tn，令bn=an2，其中n∈N*，试比较
正确答案
解：(Ⅰ)因为
即(an+1+an)(2an-an+1)=0，
又an＞0，
所以有2an-an+1=0，
所以，2an=an+1，
所以数列{an}是公比为2的等比数列，
由a2+a4=2a3+4，得2a1+8a1=8a1+4，解得：a1=2，
故数列{an}的通项公式为
(Ⅱ)因
即数列{bn}是首项为4，公比为4的等比数列，
所以，
则
又
猜想：
①当n=1时，
②假设当n=k时，不等式
当n=k+1时，
综上①②对任意n∈N*均有
又
∴
所以对于任意n∈N*均有
已知数列{an}，{bn}与函数f（x），g（x），x∈R满足条件：an=bn，f（bn）=g（bn+1）（n∈N*）。
（1）若f（x）≥tx+1，t≠0，t≠2，g（x）=2x，f（b）≠g（b），
（2）若函数y=f（x）为R上的增函数，g（x）=f-1（x），b=1，f（1）＜1，证明对任意n∈N*，an+1＜an（用t表示）。
正确答案
解：（1）由题设知
又已知
由
所以
即
又
所以-2＜t＜2且t≠0
∴
（2）因为
所以
即
下面用数学归纳法证明an+1＜an（n∈N*）
（i）当n=1时，由f（x）为增函数，且
即a2＜a1，结论成立
（ii）假设n=k时结论成立，即
f（ak+1）＜f（ak），即
进而得
这就是说当n=k+1时，结论也成立
根据（i）（ii）可知，对任意的n∈N*，an+1＜an。
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