- 相似三角形的判定及有关性质
- 共439题
正确答案
30°
解析
解：∵AE⊥BC，∠ACD=90°，∠B=∠D，∴△ABE∽△ADC，
∴
∵AB=6，AC=4，AD=12，
∴
∴∠ACB=30°，即可得出结论
故答案为：30°．
如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是4和3及x，那么x的值的个数为（ ）
正确答案
解析
解：由题意，由于两三角形相似，x的值的个数即判断一个直角三角形的两条边长分别是6和8时，直角三角形的个数．
如果6和8都是直角边，那么斜边是10；如果6是直角边，8是斜边，那么另一条边是
即第三条边可以是10，也可以是
故选B
（1）求证：AB•AC=AE•AD；
（2）求证：CH=2OP．
正确答案
证明：（1）连接BE，
因为AE是直径，所以AB⊥BE，
又AD⊥BC，∠AEB=∠ACD，
所以Rt△ABE∽Rt△ADC．
∴
（2）连接CE，则CE⊥AC，又BH⊥AC，∴BH∥CE．
∵BH⊥AC，AH⊥BC，所以H为△ABC的垂心．
CH⊥AB，EB⊥AB，∴BE∥CH
所以四边形BECH为平行四边形，∴CH=BE．
∵OP⊥AB，EB⊥AB，∴OP∥BE．
又O为AE的中点．∴OP=
∴CH=2OP．
解析
证明：（1）连接BE，
因为AE是直径，所以AB⊥BE，
又AD⊥BC，∠AEB=∠ACD，
所以Rt△ABE∽Rt△ADC．
∴
（2）连接CE，则CE⊥AC，又BH⊥AC，∴BH∥CE．
∵BH⊥AC，AH⊥BC，所以H为△ABC的垂心．
CH⊥AB，EB⊥AB，∴BE∥CH
所以四边形BECH为平行四边形，∴CH=BE．
∵OP⊥AB，EB⊥AB，∴OP∥BE．
又O为AE的中点．∴OP=
∴CH=2OP．
（Ⅰ）证明：CF⊥AE；
（Ⅱ）若AD=2，CD=3．DB=4，求tan∠BAE的值．
正确答案
解：（Ⅰ）证明：设CF与AE交于点G，连接DG，如图；
∵
∴
注意到∠CDF=∠ABE，∴△CDF∽△ABE，
∴∠DCG=∠DAG，∴A、D、G、C四点共圆．从而有∠AGC=∠ADC=90°，
∴CF⊥AE．
（Ⅱ）在Rt△CEF中，∴∠ECF=∠AED，
BC=5，DE=
∴EF=
∴tan∠ECF=
故tan∠BAE=
解析
解：（Ⅰ）证明：设CF与AE交于点G，连接DG，如图；
∵
∴
注意到∠CDF=∠ABE，∴△CDF∽△ABE，
∴∠DCG=∠DAG，∴A、D、G、C四点共圆．从而有∠AGC=∠ADC=90°，
∴CF⊥AE．
（Ⅱ）在Rt△CEF中，∴∠ECF=∠AED，
BC=5，DE=
∴EF=
∴tan∠ECF=
故tan∠BAE=
正确答案
6
解析
∵EF垂直平分AD，
∴FA=FD，∠FAD=∠FDA．
即∠FAC+∠CAD=∠B+∠BAD．
又∠CAD=∠BAD．
故∠FAC=∠B；又∠AFC=∠BFA．
∴△ABF∽△CAF．
∴AF2=CF•BF=4•（4+5）=36
∴DF=AF=6
故答案为：6
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