相似三角形的判定及有关性质
共439题

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相似三角形的判定及有关性质
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题型：简答题

简答题

如图，C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，∠ACB平分线DC交AE于点F，交AB于D点．

（Ⅰ）求∠ADF的度数；

（Ⅱ）若AB=AC，求AC：BC．

正确答案

解：（I）∵AC为圆O的切线，

∴∠B=∠EAC

又知DC是∠ACB的平分线，

∴∠ACD=∠DCB

∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD

即∠ADF=∠AFD

又因为BE为圆O的直径，

∴∠DAE=90°

∴（4分）

（II）∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，

∴△ACE∽△ABC

∴（6分）

又∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB=30°，（8分）

∴在RT△ABE中，

（10分）

解析

解：（I）∵AC为圆O的切线，

∴∠B=∠EAC

又知DC是∠ACB的平分线，

∴∠ACD=∠DCB

∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD

即∠ADF=∠AFD

又因为BE为圆O的直径，

∴∠DAE=90°

∴（4分）

（II）∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，

∴△ACE∽△ABC

∴（6分）

又∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB=30°，（8分）

∴在RT△ABE中，

（10分）

题型：单选题

单选题

如图，在△ABC中，BE：EA=1：2，F是AC中点，线段CE与BF交于点G，则△BEG的面积与△ABC的面积之比是（　　）

正确答案

解析

解：取AE的中点D，则DF∥EG，

∵BE：EA=1：2，

∴E，G分别是BD，BF的中点，

∴△BEG的面积=△BFD的面积，

∵△BFD的面积=△ABC的面积，

∴△BEG的面积=△ABC的面积，

故选：B．

题型：填空题

填空题

如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC=3，DE=2，DF=1，则BD的长为 ______、AB的长为 ______．

正确答案

解析

解：由DE∥BC，EF∥CD，知△FDE∽△DBC

由，

所以．

故答案为：；．

题型：简答题

简答题

Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AD为圆O的直径，圆O与AC交于E，求证：=．

正确答案

解：连接DE，

因为Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，

所以BC2=BD•BA，AC2=AD•BD，

所以=，

因为DE⊥AE，BC⊥AC，

所以DE∥BC，

所以=，

所以：=．

解析

解：连接DE，

因为Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，

所以BC2=BD•BA，AC2=AD•BD，

所以=，

因为DE⊥AE，BC⊥AC，

所以DE∥BC，

所以=，

所以：=．

题型：简答题

简答题

如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=2，PB=1，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．

（Ⅰ）求证：AB•PC=PA•AC；

（Ⅱ）求AD•AE的值．

正确答案

（Ⅰ）证明：∵PA为圆O的切线，

∴∠PAB=∠ACP，

又∠P为公共角

∴△PAB∽△PCA，

∴，

∴AB•PC=PA•AC．…（4分）

（Ⅱ）解：∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，

∴PA2=PB•PC，

∴PC=4，BC=3，

又∵∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2=9，

又由（Ⅰ）知=，

∴AC=，AB=，

连接EC，则∠CAE=∠EAB，∠AEC=∠ABD

∴△ACE∽△ADB，∴，

∴AD•AE=AB•AC=．（10分）

解析

（Ⅰ）证明：∵PA为圆O的切线，

∴∠PAB=∠ACP，

又∠P为公共角

∴△PAB∽△PCA，

∴，

∴AB•PC=PA•AC．…（4分）

（Ⅱ）解：∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，

∴PA2=PB•PC，

∴PC=4，BC=3，

又∵∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2=9，

又由（Ⅰ）知=，

∴AC=，AB=，

连接EC，则∠CAE=∠EAB，∠AEC=∠ABD

∴△ACE∽△ADB，∴，

∴AD•AE=AB•AC=．（10分）

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