- 相似三角形的判定及有关性质
- 共439题
如图:长方体ABCD中,AB=10厘米,BC=15厘米,E,F分别是所在边的中点,求阴影部分的面积.(提示:由于图中AD平行于BC,可知AD:BF=AG:CF=DG:BG)
正确答案
解:因为BF与AD平行,并且等于AD的,
所以BG:GD=BF:AD=1:2,则BG:BD=1:3,
同样的方法可以得出:DH:BD=1:3,
所以BG=DH=BD,所以BG=GH=HD,
所以△ABG与△AGH的面积相等,
△ABG的面积+△BGF的面积=△AGH的面积+△BGF的面积,
△AGH的面积+△BGF的面积=△ABF的面积=×10×
=
(平方厘米);
又因△DEH的DE边上的高=×15=5(厘米),
所以△DEH面积=×5×5=
(平方厘米);
即阴影部分面积=+
=50(平方厘米).
答:阴影部分的面积是50平方厘米.
解析
解:因为BF与AD平行,并且等于AD的,
所以BG:GD=BF:AD=1:2,则BG:BD=1:3,
同样的方法可以得出:DH:BD=1:3,
所以BG=DH=BD,所以BG=GH=HD,
所以△ABG与△AGH的面积相等,
△ABG的面积+△BGF的面积=△AGH的面积+△BGF的面积,
△AGH的面积+△BGF的面积=△ABF的面积=×10×
=
(平方厘米);
又因△DEH的DE边上的高=×15=5(厘米),
所以△DEH面积=×5×5=
(平方厘米);
即阴影部分面积=+
=50(平方厘米).
答:阴影部分的面积是50平方厘米.
已知:如图,E是相交两圆⊙M和⊙N的一个交点,且ME⊥NE,AB为外公切线,切点分别为A,B连接AE,BE,则∠AEB的度数为 ______.
正确答案
解:连接AM,BN,
∵∠BAE=∠AME,∠ABM=
∠BNE,
∴∠BAE+∠ABE=(∠AME+∠BNE),
∵MA⊥AB,NB⊥AB,
∴MA∥NB,
∴∠AMN+∠BNM=180°.
∵∠MEN=90°,
∴∠1+∠2=90°,
∴∠AME+∠BNE=180°-90°=90°,
∴∠BAE+∠ABE=×90°=45°,
∴∠AEB=180°-45°=135°.
故答案为:135°.
解析
解:连接AM,BN,
∵∠BAE=∠AME,∠ABM=
∠BNE,
∴∠BAE+∠ABE=(∠AME+∠BNE),
∵MA⊥AB,NB⊥AB,
∴MA∥NB,
∴∠AMN+∠BNM=180°.
∵∠MEN=90°,
∴∠1+∠2=90°,
∴∠AME+∠BNE=180°-90°=90°,
∴∠BAE+∠ABE=×90°=45°,
∴∠AEB=180°-45°=135°.
故答案为:135°.
如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,AC与BD相交于O点,OC=OA,若E是CD上任意一点,连接BE交AC于点F,连接DF.
(1)证明:△CBF≌△CDF;
(2)请你添加一个条件,使得∠EFD=∠BAD,并予以证明.
正确答案
(1)证明:在△ABC和△ADC中,,
∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠BCA=∠DCA,
在△CBF和△CDF中,,
∴△CBF≌△CDF(SAS),
(2)解:当EB⊥CD时,即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足,∠EFD=∠BCD=∠BAD,
理由:
∵△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠BAO=∠DAO,
∴易知△AOB≌AOD,∴BO=DO,
∴四边形ABCD是平行四边形,又∵AB=AD,
∴四边形ABCD为菱形,
∴BC=CD,∠BCF=∠DCF,∠BCD=∠BAD,
∵△BCF≌△DCF,
∴∠CBF=∠CDF,
∵BE⊥CD,
∴∠BEC=∠DEF=90°,
∴∠BCD+∠CBF=90°,∠EFD+∠CDF=90°,
∴∠EFD=∠BCD,
∴∠EFD=∠BAD.
解析
(1)证明:在△ABC和△ADC中,,
∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠BCA=∠DCA,
在△CBF和△CDF中,,
∴△CBF≌△CDF(SAS),
(2)解:当EB⊥CD时,即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足,∠EFD=∠BCD=∠BAD,
理由:
∵△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠BAO=∠DAO,
∴易知△AOB≌AOD,∴BO=DO,
∴四边形ABCD是平行四边形,又∵AB=AD,
∴四边形ABCD为菱形,
∴BC=CD,∠BCF=∠DCF,∠BCD=∠BAD,
∵△BCF≌△DCF,
∴∠CBF=∠CDF,
∵BE⊥CD,
∴∠BEC=∠DEF=90°,
∴∠BCD+∠CBF=90°,∠EFD+∠CDF=90°,
∴∠EFD=∠BCD,
∴∠EFD=∠BAD.
如图,E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点,连接AE交CD于F,则图中共有相似三角形( )
正确答案
解析
解:∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC,DC∥AB
∴△ADF∽△EBA∽△ECF
则图中共有相似三角形有三对,
故选C.
选修4-1:几何证明选讲
在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC=3,以AB为直径做圆0交AC于点D.
(Ⅰ)求线段CD的长度;
(Ⅱ)点E为线段BC上一点,当点E在什么位置时,直线ED与圆0相切,并说明理由.
正确答案
解:(Ⅰ)连结BD,在直角三角形ABC中,易知AC=5,∠BDC=∠ADB=90°,…(2分)
所以∠BDC=∠ABC,又因为∠C=∠C,所以△ABC∽Rt△BDC,
所以,所以CD=
.…(5分)
(Ⅱ)当点E是BC的中点时,ED与⊙O相切;
证明:连接OD,
∵DE是Rt△BDC的中线;
∴ED=EB,
∴∠EBD=∠EDB;
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB;
∴∠ODE=∠ODB+∠BDE=∠OBD+∠EBD=∠ABC=90°;
∴ED⊥OD,
∴ED与⊙O相切.
解析
解:(Ⅰ)连结BD,在直角三角形ABC中,易知AC=5,∠BDC=∠ADB=90°,…(2分)
所以∠BDC=∠ABC,又因为∠C=∠C,所以△ABC∽Rt△BDC,
所以,所以CD=
.…(5分)
(Ⅱ)当点E是BC的中点时,ED与⊙O相切;
证明:连接OD,
∵DE是Rt△BDC的中线;
∴ED=EB,
∴∠EBD=∠EDB;
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB;
∴∠ODE=∠ODB+∠BDE=∠OBD+∠EBD=∠ABC=90°;
∴ED⊥OD,
∴ED与⊙O相切.
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