- 相似三角形的判定及有关性质
- 共439题
从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB及一条割线PCD，A、B为切点，求证：
正确答案
证明：
又AP=BP，③
由①②③知：
（选做题）如图△ABC内接于圆O，AB=AC，直线MN切圆O于点C，BD∥MN，AC与BD相交于点E，
(1)求证：AE=AD；
(2)若AB=6，BC=4，求AE。
正确答案
（1）证明：∵BD ∥MN，
∴
又∵MN为圆的切线，
∴
∴∠DCN=∠CAD，
∴
∴
又
∴
∴AE=AD。
（2）解：
∴△ABE≌△ACD，
∴BE=CD=BC=4，
设AE=x，易证
又
所以
（选做题）如图设M为线段AB中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，EM交BD于G。
（1）写出图中三对相似三角形，并对其中一对作出证明；
（2）连结FG，设α=45°，AB=4
正确答案
解：（1）△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM；
∵∠AMD=∠B+∠D，∠BGM=∠DMG+∠D，
又∠B=∠A=∠DME=α，
∴∠AMF=∠BGM，
∴△AMF∽△BGM。
（2）由（1）△AMF∽△BGM，
∠α=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
AB=
如图，△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D，且AB2=AP·AD，
（Ⅰ）求证：AB=AC；
（Ⅱ）如果∠ABC=60°，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长。
正确答案
（Ⅰ）证明：连接BP，
∵AB2=AP·AD，
∴
又∵∠BAD=∠PAB，
∴△ABD∽△APB，
∴∠ABC=∠APB，
∵∠ACB=∠APB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AB=AC，
∴∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵P为弧AC的中点，
∴∠ABP=∠PAC=
∴∠BAP=90°，
∴BP是⊙O的直径，∴BP=2，
∴
在Rt△PAB中，由勾股定理得
∴
（选做题）如图设M为线段AB中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，EM交BD于G。
（1）写出图中三对相似三角形，并对其中一对作出证明；
（2）连结FG，设α=45°，AB=4
正确答案
解：（1）△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM；
∵∠AMD=∠B+∠D，∠BGM=∠DMG+∠D，
又∠B=∠A=∠DME=α，
∴∠AMF=∠BGM，
∴△AMF∽△BGM。
（2）由（1）△AMF∽△BGM，
∠α=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
AB=
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