- 相似三角形的判定及有关性质
- 共439题
如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E。
（I）证明：△ABE∽△ADC；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=
正确答案
解：（Ⅰ）证明：由已知条件，可得∠BAE=∠CAD
因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角
所以∠AEB=∠ACD
故△ABE∽△ADC；
（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC
所以
即 AB · AC=AD · AE
又
故AB·ACsin∠BAC= AD·AE
则sin∠BAC =1
又∠BAC为三角形内角
所以∠BAC=90°。
在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D。
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）若AC=3，求AP·AD的值。
正确答案
解：（1）
∴
又∵AB=AC，
∴
（2）
∴
∴
∴
（选做题）
如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F。求证：
（1）∠DEA=∠DFA；
（2）AB2=BE·BD-AE·AC。
正确答案
解：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°
又EF⊥AB，∠EFA=90°，
则A，D，E，F四点共圆，
∴∠DEA=∠DFA。
（2）由（1）知，BD·BE=BA·BF，
又△ABC∽△AEF，
∴
即AB·AF=AE·AC
∴BE·BD-AE·AC=BA·BF-AB·AF=AB（BF-AF）=AB2。
（选做题）如图△ABC内接于圆O，AB=AC，直线MN切圆O于点C，BD∥MN，AC与BD相交于点E，
(1)求证：AE=AD；
(2)若AB=6，BC=4，求AE。
正确答案
（1）证明：∵BD ∥MN，
∴
又∵MN为圆的切线，
∴
∴∠DCN=∠CAD，
∴
∴
又
∴
∴AE=AD。
（2）解：
∴△ABE≌△ACD，
∴BE=CD=BC=4，
设AE=x，易证
又
所以
（选做题）
如图，ΔABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E，
（Ⅰ）求证：ΔABE≌ΔACD；
（Ⅱ）若AB=6，BC=4，求AE。
正确答案
解：（Ⅰ）在ΔABE和ΔACD中，
∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，
又∠BAE=∠EDC，
∵BD∥MN，
∴∠EDC=∠DCN，
∵直线是圆的切线，
∴∠DCN=∠CAD，
∴∠BAE=∠CAD，
∴ΔABE≌ΔACD（角、边、角）。
（Ⅱ）∵∠EBC=∠BCM，∠BCM=∠BDC，
∴∠EBC=∠BDC=∠BAC，BC=CD=4，
又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB，
∴BC=BE=4，
设AE=x，易证ΔABE∽ΔDEC，
∴
又AE·EC=BE·ED，EC=6-x，
∴
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