- 相似三角形的判定及有关性质
- 共439题
求证：（1）△ABC≌△DCB；
（2）DE•DC=AE•BD．
正确答案
（1）证明：∵等腰梯形ABCD
∴∠ABC=∠DCB
又∵AB=CD，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB
（2）证明：∵△ABC≌△DCB
∴∠ACB=∠DBC，
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∠EAD=∠ABC
∵ED∥AC，∴∠EDA=∠DAC，
∴∠EDA=∠DBC，∠EAD=∠DCB，
∴△ADE∽△CBD
∴DE：BD=AE：CD
∴DE•DC=AE•BD
解析
（1）证明：∵等腰梯形ABCD
∴∠ABC=∠DCB
又∵AB=CD，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB
（2）证明：∵△ABC≌△DCB
∴∠ACB=∠DBC，
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∠EAD=∠ABC
∵ED∥AC，∴∠EDA=∠DAC，
∴∠EDA=∠DBC，∠EAD=∠DCB，
∴△ADE∽△CBD
∴DE：BD=AE：CD
∴DE•DC=AE•BD
（I）求∠ADF的度数；
（II）当AB=AC时，求证：∠ACE∽△BCA，并求相似比
正确答案
（I）解：∵AC为圆O的切线，∴∠B=∠EAC
又知DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠DCB …（3分）
∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD即∠ADF=∠AFD
又因为BE为圆O的直径，
∴∠DAE=90°
∴
（II）证明：∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，∴△ACE∽△ABC …．…（8分）
∴
又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=30°，…（10分）
∴在Rt△ABE中，
解析
（I）解：∵AC为圆O的切线，∴∠B=∠EAC
又知DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠DCB …（3分）
∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD即∠ADF=∠AFD
又因为BE为圆O的直径，
∴∠DAE=90°
∴
（II）证明：∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，∴△ACE∽△ABC …．…（8分）
∴
又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=30°，…（10分）
∴在Rt△ABE中，
空间四边形ABCD中，E，E，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，若AC=BD=a，且AC与BD所成的角为90°，则四边形EFGH的面积是______．
正确答案
解析
解：连接EH，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH=
同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=
所以EH∥FG，且EH=FG．
所以四边形EFGH为平行四边形．
因为AC=BD=a，AC与BD所成的角为90°
所以EF=EH．
所以四边形EFGH为正方形．
所以四边形EFGH的面积是
故答案为：
在△ABC中，DE∥BC，DE将△ABC分成面积相等的两部分，那么DE：BC=（ ）
A1：2
B1：3
C
D1：1
正确答案
解析
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC
设DE：BC=1：x
则由相似三角形的性质可得：
S△ADE：S△ABC=1：x2
又∵DE将△ABC分成面积相等的两部分，
∴x2=2
∴x=
故选C
A
B
C
D
正确答案
解析
解：
连BB′，交MN于Q．则由折叠知，
△MBQ与△MB′Q关于直线MN对称，即△MBQ≌△MB′Q，
有BQ=B′Q，MB=MB′，MQ⊥BB′．
∵∠A=∠MQB，∠ABQ=∠ABB′，
∴△MQB∽△B′AB，
∴
设AB′=x，则BB′=
BM=B‘M=
∵∠MNR+∠BMQ=90°，∠ABB′+∠BMQ=90°，
∴∠MNR=∠ABB′，
在Rt△MRN和Rt△B′AB中，
∵
∴Rt△MRN≌Rt△B′AB（ASA），
∴MR=AB′=x．
故C'N=CN=BR=MB-MR=
∴S梯形MNC′B′=
得当x=
故选：B．
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