余弦定理
共2401题

· 余弦定理

余弦定理
共2401题

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题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=b2．

（Ⅰ）当p=，b=1时，求a，c的值；

（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）解：由题设并利用正弦定理得

故可知a，c为方程x2﹣x+=0的两根，

进而求得a=1，c=或a=，c=1

（Ⅱ）解：由余弦定理得

b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB=p2b2﹣b2cosB﹣，

即p2=+cosB，

因为0＜cosB＜1，

所以p2∈（，2），

由题设知p＞0，

所以＜p＜

题型：简答题

简答题

△ABC中，己知∠A＞∠B＞∠C，且∠A=2∠C，b=4，a+c=8，求a，c的长．

正确答案

根据正弦定理==，得=

∵b=4，a+c=8，∠A=2∠C，

∴=，可得sin2C+sinC=2sin（π-3C）=2sin3C

∵sin2C=2sinCcosC，sin3C=sin（2C+C）=sin2CcosC+cos2CsinC=2sinCcos2C+sinC（2cos2C-1）

∴2sinCcosC+sinC=2[2sinCcos2C+sinC（2cos2C-1）]

结合sinC＞0，化简整理得：8cos2C-2cosC-3=0，

解之得cosC=或cosC=-

∵∠A＞∠B＞∠C，得C为锐角，

∴cosC=-不符合题意，舍去

根据余弦定理，得cosC==，

∴=，解之得a=，c=8-a=

综上，a、c的长分别为、．

题型：填空题

填空题

△ABC中，若sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cos2C=______．

正确答案

sinA：sinB：sinC=2：3：4

由正弦定理可得：a：b：c=2：3：4，不妨设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）

根据余弦定理可得：cosC===-

∴cos2C=2cos2C-1=-

故答案为：-

题型：简答题

简答题

在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且=，

（1）求sinB的值；

（2）若b=4，且a=c，求△ABC的面积．

正确答案

（1）由正弦定理，得=

即sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosB

∴sin（B+C）=3sinAcosB

∵A+B+C=180°

∴sinA=3sinAcosB

∵0°＜A＜180°

∴cosB=

∴sinB=

（2）由余弦定理，cosB=，再由b=4，a=c，cosB=得c2=24

∴S△ABC=acsinB=c2sinB=8

题型：简答题

简答题

在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长．

正确答案

在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，

由余弦定理得cos∠ADC===-，

∴∠ADC=120°，∠ADB=60°

在△ABD中，AD=10，∠B=45°，∠ADB=60°，

由正弦定理得=，

∴AB====5．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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