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1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

22．如图（8），圆O1与圆O2相交于A、B两点，AB是圆O2的直径，过A点作圆O1的切线交圆O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与圆O1、圆O2交于C，D两点．

（Ⅰ）求证：PA·PD＝PE·PC；

（Ⅱ）求证：AD＝AE．

正确答案

（1）见解析；（2）见解析

解析

试题分析：本题属于几何证明选讲中的证明问题，

（1）由切割线定理直接证明；（2）直接按照步骤来求。

(1) 分别是⊙O2的割线，

①

又分别是⊙O1的切线与割线，

②

由①，②得

(2)连接AC,DE, ⊙O1的直径，

由（1）知，

AB是⊙O2的直径，

考查方向

本题考查了几何证明选讲中的证明问题。

解题思路

本题考查几何证明选讲中的证明问题，解题步骤如下：

（1）由切割线定理直接证明；

（2）直接按照步骤来求。

易错点

图形看不懂，比较复杂。

知识点

相似三角形的判定相似三角形的性质与圆有关的比例线段

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

22．如图，在中，于，于，交于点，若．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求线段的长度．

正确答案

（1）见解析；（2）。

解析

试题分析：本题属于几何证明选讲的问题，

（1）由割线定理求解（2）由割线定理求解．

（Ⅰ）证明：由已知，所以在以为直径的圆上，由割线定理知：

（Ⅱ）解：如图，过点作于点，由已知，又因为，所以四点共圆，所以由割线定理知: ，① 同理四点共圆，由割线定理知：② ①+②得

即

所以

考查方向

本题考查了几何证明选讲的问题．

解题思路

本题考查几何证明选讲的问题，解题步骤如下：

由割线定理求解。用割线定理来解决。

易错点

不会利用切割线定理来解答。

知识点

相似三角形的判定相似三角形的性质

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

22．如图所示，为圆的切线，为切点，交圆于，两点，，，的角平分线与和圆分别交于点和．

（1）求证：；

（2）求的值．

正确答案

（1）见解析；（2）

解析

试题分析：本题属于几何证明选讲问题，（1）利用三角形相似来证明；（2）利用切割线定理然后利用三角形相似来解答。

试题解析：（Ⅰ）∵ 为圆的切线, 又为公共角,

∴ ，∴

（2）∵为圆的切线,是过点的割线, 又∵

又由（Ⅰ）知,

连接,则，

∴

考查方向

本题考查了几何证明选讲问题。

解题思路

本题考几何证明选讲问题，解题步骤如下：（1）利用三角形相似来证明；（2）利用切割线定理然后利用三角形相似来解答。

易错点

不会转化。

知识点

相似三角形的判定相似三角形的性质与圆有关的比例线段

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

22．如图，在直角中，，为边上异于的一点，以为直径作，分别交于点．

（Ⅰ）证明：四点共圆；
（Ⅱ）若为中点，且，求的长．

正确答案

（Ⅰ）略

（Ⅱ）

解析

试题分析：本题是有关直线与圆的问题，难度不大。在解题中注意结合切线的性质和勾股定理等知识进行解决。

（Ⅰ）连结，则，

因为为直径，所以，

因为，所以，

所以，

所以四点共圆．

（Ⅱ）由已知为的切线，所以，故，

所以，

因为为中点，所以．

因为四点共圆，所以，

所以．

考查方向

本题主要考查圆的基本性质、圆周角定理、四点共圆等基础知识，考查推理论证能力．难度较小．

解题思路

本题主要考查圆的基本性质、圆周角定理等基础知识。

解题步骤如下：利用四点共圆的判定定理，证明四点共圆；利用切线性质和勾股定理及第一问的结论，求出的长。

易错点

第二问计算中，不易想到利用第一问四点共圆的性质解决。

知识点

圆的切线的判定定理的证明圆的切线的性质定理的证明与圆有关的比例线段

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

22.选修4-1：几何证明选讲

如图，点在圆上，、的延长线交于点，交于点，.

（1）证明：弧弧；

（2）若，求的长.

正确答案

（1）见解析；（2）．

解析

试题分析：本题属于圆的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关圆的知识，即可解决本题，解析如下：

（Ⅰ）证明：∵

∴

∵

∴

∵,

∴,又

∴

∴.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,又

∴

又∵，，

∴.

考查方向

本题考查了相交弦定理，三角形相似等知识点。

解题思路

（1）利用圆的割线的性质及角的关系即可得证；

（2）利用三角形司相似即可求DF的长．

易错点

相关定理不熟悉导致本题失分。

知识点

圆的切线的判定定理的证明

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

22．选修4－1：几何证明选讲

如图，已知：是以为直径的半圆上一点，⊥于点，直线与过点的切线相交于点[来，为中点，连接交于点，

（Ⅰ）求证：∠BCF=∠CAB ；

（Ⅱ）若FB=FE=1，求⊙O的半径．

正确答案

（1）略

（2）

解析

（Ⅰ）证明：因为AB是直径，

所以∠ACB＝90°

又因为F是BD中点，所以∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB

因此∠BCF=∠CAB

（Ⅱ）解：直线CF交直线AB于点G，

由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC

可证得：与全等，所以 FA＝FG，

且AB＝BG

由切割线定理得：（1＋FG）2＝BG×AG=2BG2 ……①

在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2 ……②

由①、②得：FG2-2FG-3=0

解之得：FG1＝3，FG2＝－1（舍去）

所以AB＝BG＝

所以⊙O半径为.

考查方向

本题主要考查圆中的圆周角、圆心角定理、弦切角定理，以及切割线定理的运用，难度中等，属选考题中的热点问题。

解题思路

第一问：由已知条件得FC=FB=FE得到∠BCF=∠CBF=∠CAB

第二问：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC，继而证得：与全等，得到FA＝FG，由切割线定理得：（1＋FG）2＝BG×AG=2BG2 再由勾再由股定理得：BG2＝FG2－BF2，，然后求出FG

易错点

1、第一问想到弦切角定理，进而向证明CF与圆相切，虽然可以证明，但是，但是过程稍烦一些。 2、第二问没有注意题中的已知条件，而运用导致无法计算

知识点

圆的切线的判定定理的证明圆的切线的性质定理的证明与圆有关的比例线段

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

如图所示,直线为圆的切线，切点为，直径，连结交于点.

27.证明：；

28.证明：

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

试题分析：本题属于圆的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关圆的知识，即可解决本题，解析如下：

直线为圆的切线，切点为，

为圆直径，

，，又，

考查方向

本题考查了相交弦定理，三角形相似等知识点。

解题思路

（1）利用切割线定理即可得证；

（2）利用三角形相似即可证明．

易错点

相关定理不熟悉导致本题失分。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见证明．

解析

试题分析：本题属于圆的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关圆的知识，即可解决本题，解析如下：

连结，由（1）得

∽，

考查方向

本题考查了相交弦定理，三角形相似等知识点。

解题思路

（1）利用切割线定理即可得证；

（2）利用三角形相似即可证明．

易错点

相关定理不熟悉导致本题失分。

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

如图所示，圆的直径，为圆周上一点，，过作圆的切线，则点到直线的距离___________.

正确答案

解析

略

知识点

圆的切线的判定定理的证明

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

如图所示，AC和AB分别是

圆O的切线，B、C为切点，且OC=3，AB=4，延长AO到D

点，则△ABD的面积是_______ ____.

正确答案

解析

略

知识点

圆的切线的判定定理的证明与圆有关的比例线段

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

22.选修4－1：几何证明选讲

如图，是圆的直径，是弦，的平分线交圆于点，，交的延长线于点，交于点。

（Ⅰ）求证：是圆的切线；

（Ⅱ）若，求的值．

正确答案

见解析

解析

试题分析：本题属于平面几何中的基本问题，题目的难度是容易题。

（Ⅰ）连接，可得，∴

又，∴，又为半径，∴是圆的切线

（Ⅱ）过作于点，连接，则有，

设，则，∴

由可得，又由，

可得

考查方向

本题考查了平面几何的知识，主要涉及直线与圆的位置关系，三角形相似的考查．

解题思路

本题考查平面几何的知识，解题步骤如下：

（1）利用圆的相关定理证明。

（2）利用切割线定理和相交弦定理证明。

易错点

知识点

圆的切线的判定定理的证明与圆有关的比例线段

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

22.如图所示，为半径等于的圆的切线，为切点,交圆于两点，，的角平分线与交于点．

(1)求证；

(2)求的值．

正确答案

（1）见解析；（2）

解析

试题分析：本题属于割线定理及角平分线的性质的问题，1）直接利用三角形相似对应边成比例在化为乘积式即可得到相应的证明；（2）利用角平分线的性质转化为已知线段的比值。

（1）证明：由已知可得,所以可以得到,所以有,即。

（2）由切割线定理可得PB=1，的角平分线与交于点，由角平分线的性质可得,由（1）即可解出。

考查方向

本题考查了几何证明选讲中的利用切割线定理及角平分线的性质的问题。

解题思路

本题考查割线定理及角平分线的性质的问题，解题步骤如下：（1）直接利用三角形相似对应边成比例在化为乘积式即可得到相应的证明；（2）利用角平分线的性质转化为已知线段的比值。

易错点

第2问不会转化要求的比值。

知识点

圆的切线的判定定理的证明圆的切线的性质定理的证明与圆有关的比例线段

1

题型：简答题

|

简答题 · 10 分

false

正确答案

知识点

圆的切线的判定定理的证明圆的切线的性质定理的证明与圆有关的比例线段

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

选修4-1：几何证明选讲．

如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相交于点，为上一点，且．

28.求证：；

29.若，求的长．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

证明略

解析

∵,∴∽,∴

又∵,∴, ∴,

∴∽， ∴， ∴

又∵，∴

考查方向

本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到割线定理以及三角形相似等内容.重点考查考生对平面几何推理能力.

解题思路

先证明,再证，可证得

易错点

找不准三角形相似或全等的条件

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

PA=

解析

∵, ∴ ，∵ ∴由28题可知：，解得.

∴． ∵是⊙的切线，∴

∴，解得．得

考查方向

本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到割线定理以及三角形相似等内容.重点考查考生对平面几何推理能力.

解题思路

先综合题中条件及28题中结论，解出EP=,BP=,再由切割线定理，解得PA=

易错点

找不准三角形相似或全等的条件

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

选修4－1：几何证明选讲

如图，过圆外一点作一条直线与圆交于两点，且，作直线与圆相切于点，连结交于点，已知圆的半径为，.

27.求的长；

28.求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）3；

解析

（Ⅰ）延长交圆于点，连结，则，

又，所以，

又，可知，所以.

根据切割线定理得，即.

考查方向

本题主要考查平面几何的知识，圆的切割线定理。

解题思路

1）第一问由切割线定理可得；

2）第二问将两条线段归到两个相似三角形中，用相似得到比例关系。

易错点

三角形相似容易找错，切割线定理用不熟练。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（Ⅱ）过作于，则，从而有，

又由题意知，所以，

因此.

考查方向

本题主要考查平面几何的知识，圆的切割线定理。

解题思路

1）第一问由切割线定理可得；

2）第二问将两条线段归到两个相似三角形中，用相似得到比例关系。

易错点

三角形相似容易找错，切割线定理用不熟练。

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号。

22.如图AB是圆O直径，AC是圆O切线，BC交圆O与点E。

（1）若D为AC中点，证明：DE是圆O切线；

（2）若，求的大小。

23. 在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系。

（1）求的极坐标方程。

（2）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积。

24. 已知函数。

（1）当时求不等式的解集；

（2）若的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围。

正确答案

22.

（1）连接AE，由已知得，AE⊥BC,AC⊥AB.

在Rt△AEC中，由已知得，DE=DC,故∠DEC=∠DCE.

连结OE，则∠OBE=∠OEB

又∠OED+∠ABC=，所以∠DEC+∠OEB=，故∠OED=，DE是圆O的切线。

（2）设CE=1，AE=，由已知得AB=，BE=.由射影定理可得，，

所以，即.可得，所以∠ACB=。

23.（1）因为，所以的极坐标方程为，

的极坐标方程为.

（2）将代入，得，解得

.故，即

由于的半径为1，所以的面积为。

24.（1）当时，化为.

当时，不等式化为，无解；

当时，不等式化为，解得；

当，不等式化为-+2＞0，解得1≤＜2.

所以的解集为.

（2）由题设可得，

所以函数的图像与轴围成的三角形的三个丁点分别为

,△ABC的面积为.
由题设得＞6，故＞2.

所以的取值范围为.

解析

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知识点

圆的切线的判定定理的证明与圆有关的比例线段

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正确答案

解析

考查方向

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易错点

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