三角函数_章节学习

1

题型：单选题

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单选题

已知，则的值为（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：∵

∴

∴=-

∴=2=2×

故选A

1

题型：单选题

|

单选题

若函数f（x）=1-2sin2（x+）（x∈R），则f（x）是（　　）

A最小正周期为π的偶函数

B最小正周期为π的奇函数

C最小正周期为的偶函数

D最小正周期为的奇函数

正确答案

B

解析

解：∵函数f（x）=1-2sin2（x+）

=cos（2x+）

=-sin2x（x∈R），

∴f（x）是奇函数，且周期为=π，

故选：B．

1

题型：单选题

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单选题

已知α为第二象限角，sinα+cosα=，则cos2α=（　　）

A

B

C-

D-

正确答案

C

解析

解：把sinα+cosα=，两边平方得：（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，

整理得：2sinαcosα=-＜0，

∴（sinα-cosα）2=1-2sinαcosα=，

∵α为第二象限角，

∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα-cosα＞0，

∴sinα-cosα=，

则cos2α=-（sinα+cosα）（sinα-cosα）=-．

故选：C

1

题型：单选题

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单选题

已知函数f（x）=cos2（）-cos2（）则f（）等于（　　）

A

B-

C

D-

正确答案

B

解析

解：函数f（x）=cos2（）-cos2（）=cos2（）-sin2（）=cos2（）=-sin2x，

则f（）=-sin=-，

故选：B．

1

题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=

（1）求函数f（x）的单调减区间；

（2）若不等式|f（x）-m|＜1对任意恒成立，求实数m的取值范围．

正确答案

解：（1）∵sinxcosx=sin2x，cos2x=（1+cos2x）

∴f（x）=

=sin2x-（1+cos2x）-=sin2x-cos2x-1=sin（2x-）-1

令+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z

解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z

∴函数f（x）的单调减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z

（2）不等式|f（x）-m|＜1，即-1+m＜f（x）＜1+m

∵，得2x-∈[-，]

∴-1≤sin（2x-）≤，得f（x）=sin（2x-）-1∈[-2，-]

∵不等式|f（x）-m|＜1，对任意恒成立

∴-2≥-1+m且1+m≥-，解之得-≤m≤-1

即实数m的取值范围是[-，-1]．

解析

解：（1）∵sinxcosx=sin2x，cos2x=（1+cos2x）

∴f（x）=

=sin2x-（1+cos2x）-=sin2x-cos2x-1=sin（2x-）-1

令+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z

解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z

∴函数f（x）的单调减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z

（2）不等式|f（x）-m|＜1，即-1+m＜f（x）＜1+m

∵，得2x-∈[-，]

∴-1≤sin（2x-）≤，得f（x）=sin（2x-）-1∈[-2，-]

∵不等式|f（x）-m|＜1，对任意恒成立

∴-2≥-1+m且1+m≥-，解之得-≤m≤-1

即实数m的取值范围是[-，-1]．

1

题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=cos2-sincos-．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间

（Ⅱ）求不等式f（x）≤-的解集．

正确答案

解：（Ⅰ）函数f（x）=cos2-sincos-=（cosx-sinx）=cos（x+），

故函数的最小正周期为2π，

令2kπ-π≤x+≤2kπ，求得2kπ-≤x≤2kπ-，k∈z，

故函数的增区间为[2kπ-，2kπ-]，k∈z．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得由不等式f（x）≤-，即 cos（x+）≤-，

∴2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得 2kπ+≤x≤2kπ+，k∈z，

故不等式的解集为{x|2kπ+≤x≤2kπ+ }，k∈z．

解析

解：（Ⅰ）函数f（x）=cos2-sincos-=（cosx-sinx）=cos（x+），

故函数的最小正周期为2π，

令2kπ-π≤x+≤2kπ，求得2kπ-≤x≤2kπ-，k∈z，

故函数的增区间为[2kπ-，2kπ-]，k∈z．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得由不等式f（x）≤-，即 cos（x+）≤-，

∴2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得 2kπ+≤x≤2kπ+，k∈z，

故不等式的解集为{x|2kπ+≤x≤2kπ+ }，k∈z．

1

题型：填空题

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填空题

在平面直角坐标系xOy中，已知∠α的顶点为原点O，其始边与x轴正方向重合，终边过两曲线y=和y=的交点，则cos2α+cot（+α）=______．

正确答案

-+

解析

解：∵两曲线y=和y=的交点为P（-1，），故∠α的终边经过点P（-1，），

故cosα==-，sinα==，tanα=-，

∴cos2α+cot（+α）=2cos2α-1-tanα=2•-1+=-+，

故答案为：-+．

1

题型：单选题

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单选题

函数y=-2cos2（+x）+1是（　　）

A最小正周期为π的奇函数

B最小正周期为π的偶函数

C最小正周期为的奇函数

D最小正周期为的非奇非偶函数

正确答案

A

解析

解：y=-2cos2（+x）+1=-=sin2x，

∴=π．

∴函数y=-2cos2（+x）+1是最小正周期为π的奇函数．

故选：A．

1

题型：单选题

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单选题

已知tanα=3，则cos2α=（　　）

A

B

C-

D-

正确答案

D

解析

解：∵tanα=3，则cos2α====-，

故选：D．

1

题型：填空题

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填空题

若sin（-α）=-，α∈（-，π），则cos2α=______．

正确答案

解析

解：∵sin（-α）=-，

∴sin（α-）=，

∵α∈（-，π），

∴α-∈（-，），

∴cos（α-）=，

∴cosα=cos[（α-）+]

=cos（α-）cos-sin（α-）sin

=×-×

=．

∴cos2α=2cos2α-1

=2×-1

=．

故答案为：．

1

题型：单选题

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单选题

函数y=的图象与函数y=2cos2x（-3≤x≤5）的图象所有交点的纵坐标之和等于（　　）

A2

B4

C6

D8

正确答案

B

解析

解：由于函数y==1+，可知其定义域为{x|x≠1}，其两条渐近线方程分别为：x=1，y=1．

函数y=2cos2x=，可得T==4（-3≤x≤5）．

画出图象：

可知：函数y=的图象与函数y=2cos2x的图象关于点（1，1）中心对称．

根据图象的对称性可得：yA+yD=yB+yC=2，

∴函数y=的图象与函数y=2cos2x（-3≤x≤5）的图象所有交点的纵坐标之和等于4．

故选：B．

1

题型：单选题

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单选题

设，则=（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：∵，

∴，

即．

由此可得，

∵，

∴=1-2=1-2×（-）2=．

故选：B

1

题型：单选题

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单选题

设f（sinx）=cos2x，则f（）=（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：∵f（sinx）=cos2x=1-2sin2x，

∴f（x）=1-2x2（-1≤x≤1），

则f（）=．

故选：B．

1

题型：单选题

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单选题

已知函数y=（sinx+cosx）2+2cos2x，则它的最大值为（　　）

A

B+1

C

D+2

正确答案

D

解析

解：函数y=（sinx+cosx）2+2cos2x

=sin2x+cos2x+2sinxcosx+cos2x+1

=2+sin2x+cos2x

=2+sin（2x+），

∵x∈R，∴-1≤sin（2x+）≤1，

则函数的最大值为2+．

故选D

1

题型：单选题

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单选题

已知cos=，540°＜α＜720°，则sin等于（　　）

A

B

C-

D-

正确答案

A

解析

解：∵540°＜α＜720°，

∴270°＜＜360°，

135°＜＜180°，

∵cos=，

∴sin==．

答案：A．

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