三角函数_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx，x∈R．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-，]上的值域．

正确答案

解：（I）==…（4分）

所以，周期T=π． …（6分）

（II）∵，∴．…（8分）

∴，

∴f（x）的值域为[0，3]…（12分）

解析

解：（I）==…（4分）

所以，周期T=π． …（6分）

（II）∵，∴．…（8分）

∴，

∴f（x）的值域为[0，3]…（12分）

1

题型：单选题

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单选题

已知cos（π-α）=-，则cos2α=（　　）

A

B-

C

D-

正确答案

B

解析

解：∵cos（π-α）=-=-cosα，∴cosα=，则cos2α=2cos2α-1=-1=-，

故选：B．

1

题型：填空题

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填空题

已知sinθ=-，则cos（π+2θ）的值等于______．

正确答案

-

解析

解：∵sinθ=-，

∴cos（π+2θ）=-cos2θ=2sin2θ-1==-．

故答案为：-．

1

题型：填空题

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填空题

f（x）是以4为周期的奇函数，且，则f（4cos2α）=______．

正确答案

-1

解析

解：根据题意，若sinα=，则cos2α=1-2sin2α=，

则f（4cos2α）=f（），

f（x）是以4为周期的函数，则f（）=f（-）

又由函数f（x）为奇函数，则f（-）=-f（）=-1，

即有f（4cos2α）=f（）=f（）=f（-）=-f（）=-1；

故答案为-1．

1

题型：单选题

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单选题

若tanα=，则的值为（　　）

A-3

B

C

D3

正确答案

A

解析

解：原式====-3．

故选A．

1

题型：单选题

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单选题

已知函数f（x）=sin4ωx-cos4ωx的最小正周期是π，那么正数ω=（　　）

A2

B1

C

D

正确答案

B

解析

解：y=sin4ωx-cos4ωx=sin2ωx-cos2ωx=-cos2ωx

因为T=π，所以ω=1

故选：B．

1

题型：填空题

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填空题

cos2+cos2=______．

正确答案

1

解析

解：由二倍角的余弦公式可得cos2+cos2

=+=1+（cos+cos）

=1+[cos+cos（π+）]

=1+[cos-cos]=1

故答案为：1

1

题型：简答题

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简答题

已知函数，．

（1）求f（x）的最大值和最小值；

（2）求f（x）的单调区间．

正确答案

解：（1）由题意，函数可化为：

∵

∴

∴f（x）∈[2，3]

∴f（x）的最大值和最小值分别为3，2；

（2）∵

∴时，函数单调增，时，函数单调减．

∴函数单调增区间为，函数单调减区间为

解析

解：（1）由题意，函数可化为：

∵

∴

∴f（x）∈[2，3]

∴f（x）的最大值和最小值分别为3，2；

（2）∵

∴时，函数单调增，时，函数单调减．

∴函数单调增区间为，函数单调减区间为

1

题型：简答题

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简答题

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sin2+cos2B=1

（1）若b=，a=3，求c的值；

（2）设t=sinAsinC，当t取最大值时求A的值．

正确答案

解：（1）∵2sin2+cos2B=1，

∴2cos2B+cosB-1=0

∴cosB=（cosB=-1舍去），∴B=

由余弦定理，可得

∴c2-3c-4=0

∴c=1或c=4

c=1时，c＜a＜b，C＜A＜B=，与三角形内角和矛盾，舍去，∴c=4；

（2）t=sinAsinC=sinAsin（）=sinA（）=，

∵，∴∈

∴

∴当，即A=时，．

解析

解：（1）∵2sin2+cos2B=1，

∴2cos2B+cosB-1=0

∴cosB=（cosB=-1舍去），∴B=

由余弦定理，可得

∴c2-3c-4=0

∴c=1或c=4

c=1时，c＜a＜b，C＜A＜B=，与三角形内角和矛盾，舍去，∴c=4；

（2）t=sinAsinC=sinAsin（）=sinA（）=，

∵，∴∈

∴

∴当，即A=时，．

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题型：简答题

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简答题

已知，且α是第二象限的角．

（1）求的值；

（2）求cos2α的值．

正确答案

解：（1）∵，且α是第二象限的角

∴cosα=-=

∴=sinα•cos-cosα•sin=

（2）cos2α=1-2sin2α=1-=

解析

解：（1）∵，且α是第二象限的角

∴cosα=-=

∴=sinα•cos-cosα•sin=

（2）cos2α=1-2sin2α=1-=

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题型：简答题

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简答题

已知，，且，求的值．

正确答案

解：由得：∴，

则故又cos4α=2cos22α-1=1-2sin22α，

且∴，

∴，

∴．

解析

解：由得：∴，

则故又cos4α=2cos22α-1=1-2sin22α，

且∴，

∴，

∴．

1

题型：单选题

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单选题

已知θ是第二象限角，，则的值为（　　）

A7

B

C

D

正确答案

C

解析

解：∵已知θ是第二象限角，，

∴cosθ=-=-，

∴tanθ=-，又tanθ=，

∴=-，即2tan2-3tan-2=0，

解得：tan=-（舍去），或tan=2，

则==．

故选C

1

题型：单选题

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单选题

已知=2，则的值为（　　）

A

B7

C-

D-7

正确答案

A

解析

解：∵=2，∴==-，

∴sinα=．

∴==．

故选：A．

1

题型：简答题

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简答题

已知sinα-cosα=，且α∈（-π，0），求sin2α-cos2α的值．

正确答案

解：由题意知，sinα-cosα=，

两边平方得，1-2sinαcosα=，即2sinαcosα=＞0，

因为α∈（-π，0），所以α∈（-π，），则sinα+cosα＜0，

所以sinα+cosα=-=-=，

则sin2α-cos2α=（sinα-cosα）（sinα+cosα）=×（）=-．

解析

解：由题意知，sinα-cosα=，

两边平方得，1-2sinαcosα=，即2sinαcosα=＞0，

因为α∈（-π，0），所以α∈（-π，），则sinα+cosα＜0，

所以sinα+cosα=-=-=，

则sin2α-cos2α=（sinα-cosα）（sinα+cosα）=×（）=-．

1

题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）-1．

（1）求函数f（x）的最小正周期

（2）当x∈[0，]时，求函数的最小值；

（3）求函数的单调增区间．

正确答案

解：（1）y=2sinx（sinx+cosx）-1=2sin2x+2sinxcosx-1

=sin2x-cos2x

=sin（2x-））

∴最小正周期为π

（2）∵x∈[0，]

∴2x-∈[-，]

∴当2x-=-，即x=0时，f（x）min=-．

（3）根据正弦曲线的递增区间知当2x-∈[2kπ-，2kπ+]

即x∈[kπ-，kπ+]

∴函数的递增区间是[kπ-，kπ+]，（k∈z）．

解析

解：（1）y=2sinx（sinx+cosx）-1=2sin2x+2sinxcosx-1

=sin2x-cos2x

=sin（2x-））

∴最小正周期为π

（2）∵x∈[0，]

∴2x-∈[-，]

∴当2x-=-，即x=0时，f（x）min=-．

（3）根据正弦曲线的递增区间知当2x-∈[2kπ-，2kπ+]

即x∈[kπ-，kπ+]

∴函数的递增区间是[kπ-，kπ+]，（k∈z）．

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正确答案

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