椭圆的标准方程及图象
共1400题

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椭圆的标准方程及图象
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题型：填空题

填空题

从集合{k|k∈z，1≤k≤11}中任选两个不同元素作为椭圆方程+=1中的m和n，其中落在矩形B={（x，y）||x|＜11，|y|＜9}内的椭圆有______个．

正确答案

从集合{k|k∈z，1≤k≤11}中任选两个不同元素作为椭圆方程+=1中的m和n，其中落在矩形B={（x，y）||x|＜11，|y|＜9}内的椭圆，当m＞n时，有C102-1=44，当n＞m时有C82=28；共有72个．

故答案为：72．

题型：简答题

简答题

设椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为6，设过右焦点F倾斜角为θ的直线交椭圆M于A，B两点．

（Ⅰ）求椭圆M的方程；

（2）设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，求|AB|+|CD|的最小值．

正确答案

（Ⅰ）⇒所求椭圆M的方程为+=1…（3分）

（Ⅱ）当θ≠，设直线AB的斜率为k=tanθ，焦点F （ 3，0 ），则直线AB的方程为y=k （ x-3 ）有⇒（ 1+2k2 ）x2-12k2x+18（ k2-1 ）=0

设点A （ x1，y1 ），B （ x2，y2 ）有x1+x2=，x1x2=

|AB|==

又因为k=tanθ=代入**式得|AB|===

当θ=时，直线AB的方程为x=3，此时|AB|=3

而当θ=时，|AB|==3

∴|AB|=

同理可得|CD|==

有|AB|+|CD|=+=

因为sin2θ∈[0，1]，所以当且仅当sin2θ=1时，|AB|+|CD|有最小值是8

题型：简答题

简答题

设椭圆C：+=1 (a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，离心率为，在x轴负半轴上有一点B，且=2．

（1）若过A、B、F2三点的圆恰好与直线x-y-3=0相切，求椭圆C的方程；

（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由．

正确答案

（1）由题意=，得c=a，所以|F1F2|=a

∵|AF1|=|AF2|=a，=2，∴F1为BF2的中点，

∴|AF1|=|AF2|=|F1F2|=a

∴△ABF2的外接圆圆心为F1(-，0)，半径r=|F1A|=a…（3分）

又过A、B、F2三点的圆与直线x-y-3=0相切，所以=a

∴a=2，∴c=1，b2=a2-c2=3．

∴所求椭圆方程为+=1…（6分）

（2）由（1）知F2（1，0），设l的方程为：y=k（x-1）

将直线方程与椭圆方程联立，整理得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2= ， y1+y2=k(x1+x2-2)…（8分）

假设存在点P（m，0），使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，

由于菱形对角线垂直，所以(+)•=0

又+=(x1-m，y1)+(x2-m，y2)=(x1+x2-2m， y1+y2)

又MN的方向向量是（1，k），故k（y1+y2）+x1+x2-2m=0，则k2（x1+x2-2）+x1+x2-2m=0，

即k2(-2)+-2m=0

由已知条件知k≠0且k∈R，

∴m==…（11分）

∴0＜m＜，

故存在满足题意的点P且m的取值范围是(0，)…（13分）

题型：简答题

简答题

已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆，其离心率e=，且经过抛物线x2=4y的焦点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若过点B（2，0）的直线l与椭圆交于不同的亮点E、F（E在B、F之间）且=λ，试求实数λ的取值范围．

正确答案

（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0）

∵椭圆的离心率e=，且经过抛物线x2=4y的焦点

∴=，b=1

∴a2=2

∴椭圆的标准方程为+y2=1；

（2）由题意知l的斜率存在且不为零，

设l方程为x=my+2（m≠0）①，代入+y2=1，整理得（m2+2）y2+4my+2=0，由△＞0得m2＞2．

设E（x1，y1），F（x2，y2），则

∵=λ，（x1-2，y1）=λ（x2-2，y2），

∴y1=λy2，

∵y1+y2=，y1y2=

∴==

∵m2＞2，∴4＜＜8

∴4＜＜8

∵λ＞0

∴3-2＜λ＜3+2且λ≠1．

题型：简答题

简答题

已知二次曲线Ck的方程：+=1．

（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；

（2）若双曲线Ck与直线y=x+1有公共点且实轴最长，求双曲线方程；

（3）m、n为正整数，且m＜n，是否存在两条曲线Cm、Cn，其交点P与点F1(-，0)，F2(，0)满足PF1⊥PF2，若存在，求m、n的值；若不存在，说明理由．

正确答案

（1）当且仅当⇒k＜4时，方程表示椭圆；----（2分）

当且仅当（9-k）（4-k）＜0⇒4＜k＜9时，方程表示双曲线．---（4分）

（2）化简得：（13-2k）x2+2（9-k）x+（9-k）（k-3）=0----（6分）

△≥0⇒k≥6或k≤4所以6≤k＜9-------（8分）

双曲线的实轴为2，当k=6时，双曲线实轴最长为2

此时双曲线方程为-=1-------（10分）

（3）由（1）知C1，C2，C3是椭圆，C5，C6，C7，C8是双曲线，结合图象的几何性质

任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间无公共点------（12分）

设|PF1|=d1，|PF2|=d2，m∈{1，2，3}，n∈{5，6，7，8}

由椭圆与双曲线定义及•=0；所以m+n=8-----（16分）

所以这样的Cm，Cn存在，且或或-----（18分）

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