热门试卷

因为椭圆经过点M（1，2），且以y轴为准线，

所以椭圆在y轴右侧，长轴平行于x轴

设椭圆左顶点为A（x，y），因为椭圆的离心率为，

所以左顶点A到左焦点F的距离为A到y轴的距离的，

从而左焦点F的坐标为(，y)

设d为点M到y轴的距离，则d=1

根据=及两点间距离公式，可得

(-1)2+(y-2)2=()2，即

9(x-)2+4(y-2)2=1

这就是所求的轨迹方程

（1）因为e==，所以，a= c，b= c，椭圆 C1的方程可设为 + =1，

与直线方程 x-y+=0 联立，消去y，可得 5x2+6x+15-6c2=0，

因为直线与椭圆相切，所以，△=(6

5

)2-4×5(15-6c2)=0，

又因为c＞0，所以 c=1，所以，椭圆 C1的方程为 +=1．

（2）由题意可知，PM=MF2，又PM为点M到直线l1 的距离，

所以，点M到直线l1的距离与到点 F2的距离相等，

即点M的轨迹C2 是以直线 l1 为准线，点F2为焦点的抛物线，

因为直线l1的方程为X=-1，点P的坐标为（1，0），所以，点M的轨迹C2 的方程为 y2=4x．

（3）由题意可知A点坐标为（1，2）． 因为AB⊥BC，所以，•=0，

即 （x2-1，y2-1）•（x0-x2，y0-y2 ）=0，又因为  x2=y22，x0=y02，

所以， （y22-4 ）（y02-y22 ）+（y2-2 ）（y0-y2 ）=0，

因为 y2≠2，y2≠y0，所以，(y2+2)(y0+y2)+1=0，

整理可得：y22+（2+y0 ）y2+（2y0+16）=0，关于 y2 的方程有不为2的解，所以

△=（2+y0）2-4（2y0+16）≥0，且 y0≠-6，

所以，y02-4y0-60≥0，且y0≠-6，解得 y0 的取值范围为 y0＜-6，或 y0≥10．

（Ⅰ）由题意知：e==，a-c=1，a2=b2+c2，解得a=2，b2=3．

故椭圆的方程为+=1．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），

（1）若l⊥x轴，可设H（x0，0），因OA⊥OB，则A（x0，±x0）．由+=1，得=，即H(±，0)．

若l⊥y轴，可设H（0，y0），同理可得H(0，±)．

（2）当直线l的斜率存在且不为0时，设l：y=kx+m，

由，消去y得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．

则x1+x2=-，x1x2=．y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=．由OA⊥OB，知x1x2+y1y2=0．故 +=0，即7m2=12（k2+1）（记为①）．

由OH⊥AB，可知直线OH的方程为y=-x．联立方程组，得 （记为②）．将②代入①，化简得x2+y2=．综合（1）、（2），可知点H的轨迹方程为x2+y2=．

（1）将（2，2）代入x2=2py，得4=4p，所以p=1，故抛物线方程为x2=2y．

即y=x2．

y对x求导得y′=x，所以抛物线x2=2y上点（2，2）处的切线的斜率为y′|x=2=2．

所以抛物线在点（2，2）处的切线方程为y-2=2（x-2），即y=2x-2．

它与两坐标轴的交点分别为（1，0），（0，-2）．

由题意可知，a=2，b=1．

所以椭圆E的方程分别为+x2=1；

（2）假设直线BC恒过定点D．

设直线AB的斜率kAB=k1，直线AC的斜率kAC=k2，则k1k2=-4．

从而直线AB的方程为y=k1x+2．

联立，整理得(k12+4)x•(x+)=0．

从而点B的横坐标xB=-，yB=k1•(-)+2=．

所以点B的坐标为(-，)．

同理点C的坐标为(-，)．

于是，xB=-=，yB==．

xC=-=，yC==．

所以点B，C均在直线y=x上．

而两点确定一条直线，所以直线BC的方程为y=x，即y=x．

所以BC恒过定点D（0，0）；

（3）设H（x，y），由（2）知，∠AHO=90°，

所以•=0．

又因为=(x，y-2)，=(x，y)，

所以有x2+y（y-2）=0，即x2+（y-1）2=1．

所以H的轨迹方程为x2+（y-1）2=1（去掉点（0，2））．