- 电磁感应
- 共4515题
如图所示，质量为m，阻值为R的导体棒ab垂直放在光滑足够长的U形导轨的底端，U形导轨的顶端连接一个阻值为R的电阻，导轨平面与水平面成θ角，整个装置处在与导轨平面垂直的匀强磁场中．现给导体棒沿导轨向上的初速度v0，在导体棒上升到最高点的过程中电阻上产生了Q的热量，返回过程中，导体棒在到达底端前已经做匀速运动，速度大小为
（1）导体棒从开始运动到返回底端的过程中，回路中产生的电热；
（2）导体棒上升的最大高度．
（3）导体棒在底端开始运动时的加速度大小．
正确答案
（1）根据能量守恒定律，得：
Q总=
（2）设上升的最大高度为h，由动能定理有：
-mgh+WF安=0-
电阻R上产生的热量为Q，导体棒与电阻的阻值相等，则整个回路上升过程中产生的热量为2Q，
WF安=-2Q…③
h=
（3）在底端，设棒上电流为I，加速度为a，由牛顿第二定律，则：mgsinθ+BIL=ma…⑤
由欧姆定律，得：I=
E=BLv0…⑦
棒到达底端前已经做匀速运动mgsinθ=
以上方程联立可得：a=5gsinθ…⑨
答：（1）回路中产生的电热
（2）导体棒上升的最大高度
（3）导体棒在底端开始运动时的加速度大小5gsinθ．
如图（甲）所示，M1M4、N1N4为平行放置的水平金属轨道，M4P、N4Q为相同半径，平行放置的竖直半圆形金属轨道，M4、N4为切点，P、Q为半圆轨道的最高点，轨道间距L=1.0m，圆轨道半径r=0.32m，整个装置左端接有阻值R=0.5Ω的定值电阻．M1M2N2N1、M3M4N4N3为等大的长方形区域Ⅰ、Ⅱ，两区域宽度 d=0.5m，两区域之间的距离s=1.0m；区域Ⅰ内分布着均匀的变化的磁场B1，变化规律如图（乙）所示，规定竖直向上为B1的正方向；区域Ⅱ内分布着匀强磁 场B2，方向竖直向上．两磁场间的轨道与导体棒CD间的动摩擦因数为μ=0.2，M3N3右侧的直轨道及半圆形轨道均光滑．质量m=0.1kg，电阻R0=0.5Ω的导体棒CD在垂直于棒的水平恒力F拉动下，从M2N2处由静止开始运动，到达M3N3处撤去恒力F，CD棒匀速地穿过匀强磁场区，恰好通过半圆形轨道的最高点PQ处．若轨道电阻、空气阻力不计，运动过程导棒与轨道接触良好且始终与轨道垂直，g取10m/s2 求：
（1）水平恒力F的大小；
（2）CD棒在直轨道上运动过程中电阻R上产生的热量Q．
正确答案
（1）CD棒在PQ处：mg=m
设CD棒在匀强磁场区速度为v，则
CD棒在恒力F作用下Fs-μmgs=
由①②③得：F=1.0N----④
（2）棒在直轨道上运动，产生感应电流时间t1=
感应电动势E1=
I=
QE=I2Rt1------⑧
由⑤⑥⑦⑧得 QE=0.01J-------⑨
答：（1）水平恒力F的大小1.0N；
（2）CD棒在直轨道上运动过程中电阻R上产生的热量0.01J．
相距为L=0.20m的足够长的金属直角导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面．质量均为m=1.0kg的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为μ，导轨电阻不计，回路总电阻为R=1.0Ω．整个装置处于磁感应强度大小为B=0.50T，方向竖直向上的匀强磁场中．当ab杆在平行于水平导轨的拉力F作用下从静止开始沿导轨匀加速运动时，cd杆也同时从静止开始沿导轨向下运动．测得拉力F与时间t的关系如图所示．g=10m/s2，求：
（1）杆ab的加速度a和动摩擦因数μ；
（2）杆cd从静止开始沿导轨向下运动达到最大速度所需的时间t0；
（3）画出杆cd在整个运动过程中的加速度随时间变化a-t图象，要求标明坐标值（不要求写出推导过程）．
正确答案
（1）经时间t，杆ab的速率
v=at
此时，回路中的感应电流为I=
对杆ab由牛顿第二定律得F-BIL-μmg=ma
由以上各式整理得：F=ma+μmg+
在图线上取两点：
t1=0，F1=1.5N；t2=30s，F2=4.5N，
代入上式得a=10m/s2，μ=0.5
（2）cd杆受力情况如图1，当cd杆所受重力与滑动摩擦力相等时，速度最大，即mg=μFN．
又FN=F安
F安=BIL
I=
v=at0
整理解得 t0=
（3）设cd杆的加速度为a′，根据牛顿第二定律得：
mg-μF安=ma′
有：mg-μ
得：a′=g-
当t=0时，a′=10m/s2；
当a′=0时，t=
答：
（1）杆ab的加速度a和动摩擦因数μ分别为10m/s2和μ=0.5；
（2）杆cd从静止开始沿导轨向下运动达到最大速度所需的时间t0是20s．
（3）杆cd在整个运动过程中的加速度随时间变化a-t图象如图2所示．
如图所示，一对平行光滑轨道放置在水平面上，两轨道间距L=0.20m，电阻R=8Ω，有一电阻r=2Ω，质量m=1kg的金属棒ab垂直平放在轨道上，轨道电阻可忽略不计，整个装置处于垂直轨道平面向下的匀强磁场中，磁感应强度B=5T，现用一外力F沿轨道方向拉金属棒，使之做初速为零的匀加速直线运动，加速度a=1m/s2．试求：
（1）2s内通过电阻R的电量Q大小；
（2）外力F与时间t的关系；
（3）求当t=5s时电阻R上的电功率PR和F的功率PF的大小，并用能量守恒的观点说明两者为何不相等？
正确答案
（1）t=2s时，金属棒通过的位移为 x=
回路磁通量的变化量为△Φ=BxL=2Wb
感应电流为 I=
则电量 Q=I△t=
代入解得 Q=0.2C
（2）安培力表达式为FA=BIL=B
代入解得，FA=
根据牛顿第二定律得 F-FA=ma
则得 F=1+0.1t
（3）当t=5s时，I=
则PR=I2R=2W，
因F=1.5N，v=at=5m/s，则PF=Fv=7.5W．
外力F的功率转化为用于导体棒动能增加的机械功率和电阻上的发热功率，而发热功率还包括电阻R上的功率和导体棒电阻r的功率，所以有PR＜PF．
答：（1）2s内通过电阻R的电量Q大小是0.2C；
（2）外力F与时间t的关系是F=1+0.1t；
（3）当t=5s时电阻R上的电功率PR是2W，F的功率PF的大小是7.5W，外力F的功率转化为用于导体棒动能增加的机械功率和电阻上的发热功率，而发热功率还包括电阻R上的功率和导体棒电阻r的功率，所以有PR＜PF．
如图所示，足够长的光滑平行导轨MN、PQ竖直放置，磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨的M与P两端连接阻值为R=0.40Ω的电阻，质量为m=0.010kg，电阻r=0.30Ω的金属棒ab紧贴在导轨上．现使金属棒ab由静止开始下滑，其下滑距离与时间的关系如下表所示（不计导轨的电阻，取g=10m/s2）
（1）试画出金属棒ab在开始运动的0.7s内的位移-时间图象；
（2）求金属棒ab在开始运动的0.7s内电阻R上产生的热量；
（3）求重力对金属棒做功的最大功率．
正确答案
（1）0.7s内的位移-时间图象如图．
（2）由图，金属棒在0.7s末的速度为
v=
由题，金属棒ab下滑高度h=3.5m，设电路中产生的总热量为Q．
由能量守恒定律得 mgh=
又QR=I2Rt，Q=I2（R+r）t，得到
QR=
（3）重力对金属棒做功的最大功率P=mgv=0.7W
答：（1）0.7s内的位移-时间图象如图．
（2）金属棒ab在开始运动的0.7s内电阻R上产生的热量为0.06J．
（3）重力对金属棒做功的最大功率P=mgv=0.7W．
如图所示，两条足够长的平行金属导轨相距L，与水平面的夹角为q，整个空间存在垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，虚线上方轨道光滑且磁场方向向上，虚线下方轨道粗糙且磁场方向向下．当导体棒EF以初速度v0沿导轨上滑至最大高度的过程中，导体棒MN一直静止在导轨上，若两导体棒质量均为m、电阻均为R，导轨电阻不计，重力加速度为g，在此过程中导体棒EF上产生的焦耳热为Q，求：
（1）导体棒MN受到的最大摩擦力；
（2）导体棒EF上升的最大高度．
正确答案
（1）导体棒EF向上做减速运动，产生的感应电动势和感应电流逐渐减小，MN所受的安培力方向沿导轨向下，大小不断减小，所以EF棒刚开始运动时MN所受的摩擦力最大．
EF获得向上初速度v0时，产生感应电动势 E=BLv0 ①
电路中电流为I，由闭合电路欧姆定律：I=
此时对导体棒MN受力分析，由平衡条件：FA+mgsinθ=f ③
FA=BIL ④
解得：f=
（2）导体棒上升过程MN一直静止，对系统由能的转化和守恒定律得：
解得：h=
答：（1）导体棒MN受到的最大摩擦力为
一个10匝、面积为0.1m2的线圈，放在磁场中，磁场的方向与线圈平面垂直，开始时磁感应强度为0.1T，之后经过0.05s磁感应强度均匀增加到0.5T．在此过程中
（1）穿过线圈的磁通量的变化量是多少？
（2）磁通量的平均变化率是多少？
（3）线圈中的感应电动势的大小是多少？
正确答案
（1）磁通量的变化量是由磁场的变化引起的，所以穿过线圈的磁通量的变化量是：
△φ=△BS=（0.5-0.1）×0.1Wb=0.04Wb
（2）磁通量的平均变化率：
（3）根据法拉第电磁感应定律得，
感应电动势 E=n
答：（1）穿过线圈的磁通量的变化量是0.04Wb．（2）磁通量的平均变化率是0.8Wb/s．（3）线圈中的感应电动势的大小是8V．
如图所示，OP1Q1与OP2Q2是位于同一水平面上的两根金属导轨，处在沿竖直方向的匀强磁场中，磁感应强度为B，长度相等的导轨OP1段与OP2段相互垂直，交于O点．导轨的P1Q1与P2Q2段相互平行，相距为2b．一根质量为m的金属细杆，在t=0s时从O点出发，在外力作用下以恒定的速度v沿导轨向右滑动．在滑动的过程中，杆始终保持与导轨的平行段相垂直，速度方向与导轨的平行段相平行，杆与导轨有良好的接触．假定导轨与金属杆都有电阻，且每单位长度的电阻都是r．不计金属细杆与轨道之间的摩擦．
（1）金属杆在正交的OP1、OP2导轨上滑动时，通过金属杆中的电流多大？
（2）当t=
（3）从开始运动到t=
（4）若控制外力，使金属杆从静止开始作匀加速直线运动，加速度始终为a，试写出外力随时间变化的规律．
正确答案
（1）切割产生的感应电动势E=BLV，回路中的电阻R=（2
根据欧姆定律得：
I1=
（2）当t=
根据欧姆定律得：
I2=
则安培力的大小：FA=BI2L=B
（3）根据动能定理得：WF-WA=0
WF=WA=
（4）分两段讨论：
①0≤t≤
S=
F1-BI1•2S=ma
F1=ma+
②t＞
R=
I2=
F2=ma+
答：（1）金属杆在正交的OP1、OP2导轨上滑动时，通过金属杆中的电流为
（2）当t=
（3）从开始运动到t=
（4）当0≤t≤
一根电阻＝0.6Ω的导线弯成一个圆形线圈，圆半径＝1m，圆形线圈质量＝1kg，此线圈放在绝缘光滑的水平面上，在轴右侧有垂直线圈平面的磁感应强度＝0.5T的匀强磁场，如图所示．若线圈以初动能0＝5J沿轴方向滑进磁场，当进入磁场0.5m时，线圈中产生的电能为＝3J．求：
(1) 此时线圈的运动速度的大小；
(2) 此时线圈与磁场左边缘两交接点间的电压；
(3) 此时线圈加速度的大小．
正确答案
解：(1)设线圈的速度为v，由能量守恒定律得E0＝E＋
(2)线圈切割磁感线的有效长度L＝2
电动势E＝BLv＝
电流I＝
两交接点间的电压U＝IR1＝
(3)F＝ma＝BIL，所以a＝2.5 m/s2
如图所示，一对光滑的平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨间距L=0.5m，左端接有阻值R=0.3Ω的电阻，一质量m=0.1kg，电阻r=0.1Ω的金属棒MN放置在导轨上，整个装置置于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B=0.4T，棒在水平向右的外力作用下，由静止开始做匀加速直线运动，当棒运动的位移x=9m时速度达到6m/s，此时撤去外力，棒继续运动一段距离后停下来，已知撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比Q1：Q2=2：1，导轨足够长且电阻不计，棒在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，求：
（1）棒在匀加速运动过程中，通过电阻R的电荷量q；
（2）金属棒MN做匀加速直线运动所需外力随时间变化的表达式；
（3）外力做的功WF．
正确答案
（1）设棒匀加速运动的时间为△t，回路的磁通量变化量为△Φ，回路中的平均感应电动势为
由法拉第电磁感应定律得 
其中△Φ=BLx
设回路中的平均电流为
则通过电阻R的电荷量为q=
联立①②③④式，代入数据得：q=
（2））设撤去外力时棒的速度为v，对棒的匀加速运动过程，由运动学公式v2=2ax
得：a=
E=Blv，I=
由安培力公式和牛顿第二定律得：F-BIl=ma
得：F=0.2+0.2t
（3）撤去外力后棒在安培力作用下做减速运动，安培力做负功先将棒的动能转化为电能，再通过电流做功将电能转化为内能，所以焦耳热等于棒的动能减少．有
Q2=△Ek=
根据题意在撤去外力前的焦耳热为 Q1=2Q2=2×1.8J=3.6J
撤去外力前拉力做正功、安培力做负功（其大小等于焦耳热Q1）、重力不做功共同使棒的动能增大，根据动能定理有△Ek=WF-Q1
则 WF=Q1+△Ek=3.6J+1.8J=5.4J
答：（1）棒在匀加速运动过程中，通过电阻R的电荷量q为4.5C；
（2）金属棒MN做匀加速直线运动所需外力随时间变化的表达式为F=0.2+0.2t；
（3）外力做的功WF为5.4J
如图所示，匀强磁场B=
（1）求此过程中产生的热量；
（2）若通以直流电要达到同样的热效应，则电流多大？
正确答案
（1）线框以dc边为轴从水平位置转到竖直位置的过程中，能量发生了转化ab边的重力势能一部分转化为动能，另一部分由于线圈中磁通量的变化转变为电能，根据能量守恒，E势=Ek+E电即
mgL=
∴E电=mgL-
所以此过程中产生的热量Q=E电=0.2J
（2）根据焦耳定律得，Q=I2R△t，
∴I=
答：
（1）此过程中产生的热量为0.2J；
（2）若通以直流电要达到同样的热效应，电流为1.77A．
如图所示，在一磁感应强度B=0.5T的匀强磁场中，垂直于磁场方向水平放置着两根相距为h=0.1m的平行金属导轨MN和PQ，导轨电阻忽略不计，在两根导轨的端点N、Q之间连接一阻值R=0.3Ω的电阻．导轨上跨放着一根长为L=0.2m，每米长电阻r=2.0Ω/m的金属棒ab，金属棒与导轨正交放置，交点为c、d，当金属棒在水平拉力作用于以速度v=4.0m/s向左做匀速运动时，试求：
（1）使金属棒做匀速运动的拉力；
（2）回路中的发热功率；
（3）金属棒ab两端点间的电势差．
正确答案
（1）金属棒cd段产生的感应电动势为Ecd=Bhv=0.5×0.1×4=0.2V
cdQN中产生的感应电流为 I=
使金属棒匀速运动的外力与安培力是一对平衡力，方向向左，大小为
F=F安=BIh=0.5×0.4×0.1N=0.02N
（2）回路中的热功率P热=I2（R+hr）=0.08W
（3）金属棒ab两端的电势差等于Uac、Ucd、Udb三者之和，由于
Ucd=Ecd-Ircd，
所以 Uab=Eab-Ircd=BLv-Ircd=0.32v．
答：
（1）使金属棒做匀速运动的拉力是0.02N；
（2）回路中的发热功率为0.08W；
（3）金属棒ab两端点间的电势差是0.32v．
如图所示，在B=0.2T的匀强磁场中，用恒力F作用在电阻为0.5Ω的金属杆ab上，杆以速度v=5m/s匀速向右平移，R=1.5Ω，导轨间距L=0.2m且光滑并电阻不计，求
（1）此时ab中感应电动势的大小等于多少伏？
（2）通过ab杆的电流大小和方向？
（3）恒力F的大小？
正确答案
（1）根据法拉第电磁感应定律，ab棒中感应电动势大小为
E=BLυ=0.2×0.2×5V=0.2V
（2）根据闭合电路欧姆定律，感应电流大小为 I=
由右手定则可知，ab杆的电流的方向为b→a．
（3）由于ab棒向右匀速运动，恒力F应与ab棒所受的安培力F安等值反向．即
F=F安=BIL=0.2×0.1×0.2N=0.004N
答：（1）此时ab中感应电动势的大小等于0.2V．（2）通过ab杆的电流大小为0.1A，电流方向b→a．（3）恒力F的大小为0.004N．
如图甲所示，光滑绝缘水平桌面上直立一个单匝正方形导线框ABCD，线框的边长为L=0.4m、总电阻为R=0.1Ω．在直角坐标系xoy中，有界匀强磁场区域的下边界与x轴重合，上边界满足曲线方程y=0.2sin
（1）求线框中AD两端的最大电压；
（2）在图乙中画出运动过程中线框i-t图象，并估算磁场区域的面积；
（3）求线框在穿越整个磁场的过程中，拉力F所做的功．
正确答案
（1）当导线框运动到磁场中心线时，有两种情况，一是BC边，二是AD边，当AD边运动到磁场中心时，AD边上的电压最大．
Em=Bymv=0.2×0.2×10V=0.4V
Im=
则线框中AD两端的最大电压是Um=Im•
（2）BC边切割磁场的时间为t1=
此后，经t2时间，线框中无感应电流
t2=
AD边切割时间t3=t1=0.03s
在整个切割过程中，i-t图象如图所示．
由图象可知，每个小方格表示电量q=0.0005C
在图象中，图象与t轴所围区域共有小方格153个，故t1时间内通过线框某一截面的电量 Q=Nq=153×0.0005C=0.0765C
又Q=
得S=
（3）在t1和t3时间内，通过线框的电流按正弦规律变化
电流的有效值为 I=
由于线框做匀速运动，则根据功能关系得
W=I2R（t1+t3）=0.048J
答：（1）求线框中AD两端的最大电压是0.3V；
（2）在图乙中画出运动过程中线框i-t图象如图所示，磁场区域的面积是0.038m2；
（3）线框在穿越整个磁场的过程中，拉力F所做的功是0.048J．
如图所示，电动机牵引一根原来静止的、长L为1m、质量m为0.1kg的导体棒MN上升，导体棒的电阻R为1Ω，架在竖直放置的框架上，它们处于磁感应强度B为1T的匀强磁场中，磁场方向与框架平面垂直．当导体棒上升h=3.8m时，获得稳定的速度，导体棒上产生的热量为2J，电动机牵引棒时，电压表、电流表的读数分别为7V、1A，电动机内阻r为1Ω，不计框架电阻及一切摩擦，求：
（1）电动机的输出功率：
（2）导体棒达到稳定时的速度
（3）导体棒从静止到达稳定速度所需要的时间．
正确答案
（1）电动机的输出功率为：P出=IU-I2r=6W；
（2）电动机的输出功率就是电动机牵引棒的拉力的功率，
则有P出=Fv
当棒达稳定速度时F=mg+BI′L，感应电流I′=
根据平衡条件得 F=mg+F安，
联立以上三式，解得棒达到的稳定速度为v=2m/s．
（3）由能量守恒定律得：
P出t=mgh+
答：（1）电动机的输出功率为6W：
（2）导体棒达到稳定时的速度为2m/s．
（3）导体棒从静止到达稳定速度所需要的时间是1s．
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