热门试卷

解：（1）f′（x）=2x，M（t，t2）；

∴过点M的切线PQ的斜率为：2t；

∴切线PQ的方程为：y=2tx-t2．

（2）由（1）可求得，P（，0），Q（6，12t-t2）；

∴g（t）=（0＜t＜6）；

g′（x）=，令g′（x）＜0得：4＜t＜6；

∴g（t）在（4，6）上单调递减，∴m的最小值为4．

（3）由（2）知，g（t）在（4，6）上递减，S△QAP∈（g（6），g（4））=（54，64）；

令g′（t）＞0，得0＜t＜4，∴g（t）在（0，4）上递增，∴S△QAP∈（g（0），g（4））=（0，64）；

又g（1）=，g（4）=64；

∴g（t）∈时，t∈[1，6），∴∈；

∴点P横坐标的取值范围是．

解：（1）f′（x）=ex-a，

若a≤0，则f′（x）≥0恒成立，则f（x）在区间（-∞，+∞）上单调递增；

若a＞0，由f′（x）＞0解得x＞lna，f（x）在区间（lna，+∞）上单调递增，在区间（-∞，lna）上单调递减．

（2）若a＜0，由（1）知f（x）在区间（-∞，+∞）上单调递增，且当x→-∞时，f（x）→-∞，对x∈R，f（x）≥0不能恒成立；

若a=0，则f（x）=ex-b＞-b，因为对x∈R，所以-b≥0⇒b≤0，

此时（a+1）（b+1）≤1＜（1+e2）e-2，不等式成立；

若a＞0，由（1）知f（x）在区间（lna，+∞）上单调递增，在区间（-∞，lna）上单调递减，得函数f（x）的最小值是f（lna）=a-a（lna+2）-b；

∴a-a（lna+2）-b≥0⇒b≤-a-alna，

只需要证明当a＞0时，（a+1）（1-a-alna）＜（1+e-2）ea，

即证明；，

记，h（x）=1-x-xlnx，

∵，当x≥0时，g′（x）≤0，∴g（x）在区间[0，+∞）上单调递减，

∴a＞0时，，又g（a）＞0，∴0＜g（a）＜1，

，由h′（x）=0⇒x=e-2，且当0＜x＜e-2时，h′（x）＞0，

且当x＞e-2时，h′（x）＜0，∴h（x）的最大值是h（e-2）=1+e-2，

∴当a＞0时，h（a）=1-a-alna≤1+e-2，

∴，即原不等式成立．