- 函数的最值与导数的关系
- 共6078题
已知f（x）=tx3-2x2+1．
（I）若f′（x）≥0对任意t∈[-1，1]恒成立，求x的取值范围；
（II）求t=1，求f（x）在区间[a，a+3]（a＜0）上的最大值h（a）．
正确答案
解：（I）f′（x）=3tx2-4x，令g（t）=3x2t-4x，
则有
∴
解得
∴x的取值范围是
（II）f（x）=x3-2x2+1，
f′（x）=3x2-4x=x（3x-4），
令f′（x）＞0，得x＜0或x＞
令f′（x）＜0，得0
∴f（x）在（-∞，0）和（
在（0，
∵f（0）=1，
令f（x）=1，得x=0或x=2．
①当a+3＜0，即a＜-3时，f（x）在[a，a+3]单调递增．
∴h（a）=f（a+3）=a3+7a2+15a+10．
②当0≤a+3≤2，即-3≤a≤-1时，h（a）=f（0）=1．
③当a+3＞2，即0＞a＞-1时，
h（a）=f（a+3）=a3+7a2+15a+10．
∴
解析
解：（I）f′（x）=3tx2-4x，令g（t）=3x2t-4x，
则有
∴
解得
∴x的取值范围是
（II）f（x）=x3-2x2+1，
f′（x）=3x2-4x=x（3x-4），
令f′（x）＞0，得x＜0或x＞
令f′（x）＜0，得0
∴f（x）在（-∞，0）和（
在（0，
∵f（0）=1，
令f（x）=1，得x=0或x=2．
①当a+3＜0，即a＜-3时，f（x）在[a，a+3]单调递增．
∴h（a）=f（a+3）=a3+7a2+15a+10．
②当0≤a+3≤2，即-3≤a≤-1时，h（a）=f（0）=1．
③当a+3＞2，即0＞a＞-1时，
h（a）=f（a+3）=a3+7a2+15a+10．
∴
（2015秋•巴彦淖尔校级期末）已知函数f（x）=2x3-6x2+m（m为常数）在[-2，2]上的最小值为-38，则f（x）在[-2，2]上的最大值是（ ）
正确答案
解析
解：∵f′（x）=6x2-12x=6x（x-2），
∵f（x）在（-2，0）上为增函数，在（0，2）上为减函数，
∴当x=0时，f（x）=m最大，
又f（-2）=m-40，f（2）=m-8，可得f（x）的最小值为f（-2）=-38，
∴m=2，
∴f（x）的最大值为2．
故选：C．
设函数f（x）=alnx+
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求证：对于定义域内的任意一个x，都有f（x）≥3-x．
正确答案
解：（Ⅰ）f（x）的定义域为{x|x＞0}，
根据题意，f‘（1）=2-3a，所以a-2a2=2-3a，
即a2-2a+1=0，解得a=1．
（Ⅱ）证明：
设g（x）=f（x）-（3-x），
即
当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表：
x=1是g（x）在（0，+∞）上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是g（x）的最小值点．
可见g（x）最小值=g（1）=0，
所以g（x）≥0，即f（x）-（3-x）≥0，
所以对于定义域内的每一个x，都有f（x）≥3-x．
解析
解：（Ⅰ）f（x）的定义域为{x|x＞0}，
根据题意，f‘（1）=2-3a，所以a-2a2=2-3a，
即a2-2a+1=0，解得a=1．
（Ⅱ）证明：
设g（x）=f（x）-（3-x），
即
当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表：
x=1是g（x）在（0，+∞）上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是g（x）的最小值点．
可见g（x）最小值=g（1）=0，
所以g（x）≥0，即f（x）-（3-x）≥0，
所以对于定义域内的每一个x，都有f（x）≥3-x．
若a＞0，则
正确答案
解析
解：设
再令
即
故答案为：
求函数f（x）=2x3+3x2-12x+14的在[-3，4]上的最大值与最小值．
正确答案
解：由题可得f′（x）=6x2+6x-12=0，
令f′（x）=0，解得x=1，-2，
∴函数在（-3，-2），（1，4）上单调递增，在（-2，1）上单调递减，
又f（-3）=20，f（-2）=34，f（1）=7，f（4）=142，
∴函数f（x）=2x3+3x2-12x+14的在[-3，4]上的最大值为142，最小值7．
解析
解：由题可得f′（x）=6x2+6x-12=0，
令f′（x）=0，解得x=1，-2，
∴函数在（-3，-2），（1，4）上单调递增，在（-2，1）上单调递减，
又f（-3）=20，f（-2）=34，f（1）=7，f（4）=142，
∴函数f（x）=2x3+3x2-12x+14的在[-3，4]上的最大值为142，最小值7．
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