- 函数的最值与导数的关系
- 共6078题
已知函数
（Ⅰ）若曲线f（x）在（1，f（1））处的切线与y=x平行，求实数a的值．
（Ⅱ）若x∈（0，2]，求函数f（x）的最小值．
（Ⅲ）设函数
正确答案
解（Ⅰ）
依题意f′（1）=a-1=1
故a=2（3分）
（Ⅱ）
当
当
（1）当
可知f（x）在（0，2]是减函数，
故 x=2时 f（x）min=
（2）当
可知f（x）在
综上所述，当
（8分）
（Ⅲ）设h（x）=f（x）-g（x）=ax-lnx（x＞0），
则
令h′（x）=0，得
由h′（x）＜0，得
由h′（x）＞0，得
所以当
f（x）与 g（x）的图象在（1，e2）上
有两个不同的交点等价于h（x）在（1，e2）上有两个不同零点．
故只需
故实数a的取值范围是
解析
解（Ⅰ）
依题意f′（1）=a-1=1
故a=2（3分）
（Ⅱ）
当
当
（1）当
可知f（x）在（0，2]是减函数，
故 x=2时 f（x）min=
（2）当
可知f（x）在
综上所述，当
（8分）
（Ⅲ）设h（x）=f（x）-g（x）=ax-lnx（x＞0），
则
令h′（x）=0，得
由h′（x）＜0，得
由h′（x）＞0，得
所以当
f（x）与 g（x）的图象在（1，e2）上
有两个不同的交点等价于h（x）在（1，e2）上有两个不同零点．
故只需
故实数a的取值范围是
已知∀x∈R，ex≥ax+b恒成立．
（1）当b=1时，求a的范围．
（2）求a•b的最大值．
正确答案
解：（1）令f（x）=ex-ax-1，f‘（x）=ex-a=0，
①a≤0时，f'（x）≥0无最大，最小，
②a＞0时，f'（x）=0，x=lna（极小值点），
所以 f（x）min=f（lna）=a-alna-1≥0，
令g（x）=f（lna）=a-alna-1g'（x）=1-lna-1=-lna=0，
解得a=1，
所以g（x）min=g（1）=0，
所以f（x）min≥0的解为a=1；
（2）令f（x）=ex，设f（x）上一点坐标为
所以
所以切线方程为：
整理得：
所以
令f（x）=ab=（1-x）e2x，f'（x）=-e2x+2（1-x）e2x=（1-2x）e2x，
令f'（x）=0，解得：极大值点：
所以
解析
解：（1）令f（x）=ex-ax-1，f‘（x）=ex-a=0，
①a≤0时，f'（x）≥0无最大，最小，
②a＞0时，f'（x）=0，x=lna（极小值点），
所以 f（x）min=f（lna）=a-alna-1≥0，
令g（x）=f（lna）=a-alna-1g'（x）=1-lna-1=-lna=0，
解得a=1，
所以g（x）min=g（1）=0，
所以f（x）min≥0的解为a=1；
（2）令f（x）=ex，设f（x）上一点坐标为
所以
所以切线方程为：
整理得：
所以
令f（x）=ab=（1-x）e2x，f'（x）=-e2x+2（1-x）e2x=（1-2x）e2x，
令f'（x）=0，解得：极大值点：
所以
函数y=x+2cosx在区间[0，
A
B
C
D
正确答案
解析
解：y′=1-2sinx=0，得 
故y=x+2cosx在区间[0，
又x=
所以最大值为 
故选C．
已知函数f（x）=
（1）如果对任意x∈（1，2]，f‘（x）＞a2恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设实数f（x）的两个极值点分别为x1x2判断①x1+x2+a②x12+x22+a2③x13+x23+a3是否为定值？若是定值请求出；若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a）并求出g（a）的最小值；
（3）对于（2）中的g（a），设H（x）=
正确答案
解：（1）∵函数f（x）=
∴函数f′（x）=x2+（a-3）x+（a2-3a）
则f′（x）-a2=x2+（a-3）x-3a=（x+a）（x-3）
若对任意x∈（1，2]，f‘（x）＞a2恒成立，
则对任意x∈（1，2]，f′（x）-a2＞0恒成立
则a＜-2．
（2）令f′（x）=0
则x=3或x=-a
则①x1+x2+a=3为定值；
②x12+x22+a2=2a2+9不为定值；
此时g（a）=2a2+9，当a=0时有最小值9；
③x13+x23+a3=27为定值；
（3）∵g（a）=2a2+9，
∴H（x）=
令F（x）=H（x）-ex=
则F′（x）=
当x∈（0，1）时，F′（x）＜0恒成立
即F（x）在区间（0，1）上为减函数
当m，n∈（0，1）且m≠n时，不妨令m＞n
则F（m）-F（n）=[H（m）-em]-[H（n）-en]＜0
即[H（m）-em]＜[H（n）-en]
即H（m）-H（m）＜em-en，
即|H（m）-H（n）|＜|em-en|
解析
解：（1）∵函数f（x）=
∴函数f′（x）=x2+（a-3）x+（a2-3a）
则f′（x）-a2=x2+（a-3）x-3a=（x+a）（x-3）
若对任意x∈（1，2]，f‘（x）＞a2恒成立，
则对任意x∈（1，2]，f′（x）-a2＞0恒成立
则a＜-2．
（2）令f′（x）=0
则x=3或x=-a
则①x1+x2+a=3为定值；
②x12+x22+a2=2a2+9不为定值；
此时g（a）=2a2+9，当a=0时有最小值9；
③x13+x23+a3=27为定值；
（3）∵g（a）=2a2+9，
∴H（x）=
令F（x）=H（x）-ex=
则F′（x）=
当x∈（0，1）时，F′（x）＜0恒成立
即F（x）在区间（0，1）上为减函数
当m，n∈（0，1）且m≠n时，不妨令m＞n
则F（m）-F（n）=[H（m）-em]-[H（n）-en]＜0
即[H（m）-em]＜[H（n）-en]
即H（m）-H（m）＜em-en，
即|H（m）-H（n）|＜|em-en|
设函数f（x）=
①证明：-3＜c≤-1；
②判断f′（m-4）的正负并加以证明；
③若f（x）在x∈[m-4，1]上的最大值等于
正确答案
解：
∴f′（1）=1+2b+c=0⇒b=
∴m2-（1+c）m+c+1=0，
∴△=（1+c）2-4（1+c）≥0，则c≥3或c≤-1；
又∵b=
∴c＞-3；又b=
②f′（x）=x2+（-1-c）x+c=（x-c） （x-1），
其图象开口向上，对称轴为：-1＜x0=
∵f′（m）=-1＜0，
∴-3＜c＜m＜1；
则-7＜m-4＜-3⇒f′（m-4）＞0；…（9分）
③由于f′（m-4）＞0；
∵函数f（x）在x=1处取到一个极小值，
∴函数f（x）在（-∞，c）和（1，+∞）上为增函数，在（c，1）上为减函数，
∴m-4≤c，
f（x）在x∈[m-4，1]上的最大值等于f（c）=
∴c=-1，或c=4（舍去）；
由f′（m）=-1，可得m=0，则f（x）=
∴函数的最小值为f（-4）=
解析
解：
∴f′（1）=1+2b+c=0⇒b=
∴m2-（1+c）m+c+1=0，
∴△=（1+c）2-4（1+c）≥0，则c≥3或c≤-1；
又∵b=
∴c＞-3；又b=
②f′（x）=x2+（-1-c）x+c=（x-c） （x-1），
其图象开口向上，对称轴为：-1＜x0=
∵f′（m）=-1＜0，
∴-3＜c＜m＜1；
则-7＜m-4＜-3⇒f′（m-4）＞0；…（9分）
③由于f′（m-4）＞0；
∵函数f（x）在x=1处取到一个极小值，
∴函数f（x）在（-∞，c）和（1，+∞）上为增函数，在（c，1）上为减函数，
∴m-4≤c，
f（x）在x∈[m-4，1]上的最大值等于f（c）=
∴c=-1，或c=4（舍去）；
由f′（m）=-1，可得m=0，则f（x）=
∴函数的最小值为f（-4）=
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