- 函数的最值与导数的关系
- 共6078题
已知a，b为正实数，函数f（x）=ax3+bx+2x在[0，1]上的最大值为4，则f（x）在[-1，0]上的最小值为（ ）
A-
B
C-2
D2
正确答案
解析
解：因为a，b为正实数，函数f（x）=ax3+bx+2x，
所以导函数f‘（x）=3ax2+b+2xln2，
因为a，b为正实数，
所以当0≤x≤1时，3ax2≥0，2xln2＞0，
所以f'（x）＞0，即f（x）在[0，1]上是增函数，
所以f（1）最大且为a+b+2=4⇒a+b=2①；
又当-1≤x≤0时，3ax2≥0，2xln2＞0，
所以f'（x）＞0，
即f（x）在[-1，0]上是增函数，
所以f（-1）最小且为-（a+b）+
将①代入②得f（-1）=-2+
故选A
若函数f（x）=
正确答案
-
解析
解：画出函数f（x）的图象，如图示：
当x=
此时：g′（
g（
∴b+c=-
故答案为：-
设直线x=m与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则|MN|的最小值为（ ）
A0
B1
C4-ln2
D
正确答案
解析
解：设函数y=f（x）-g（x）=x2-lnx（x＞0），求导数得y′=2x-
令y′＜0，∵x＞0，∴0＜x＜
令y′＞0，∵x＞0，∴x＞
∴x=
即|MN|的最小值为
故选D．
已知定义在R上的函数f（x）=x2（ax-3），若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，则正数a的范围______．
正确答案
解析
解：∵f（x）=x2（ax-3）=ax3-3x2，∴f‘（x）=3ax2-6x，
∴g（x）=f（x）+f′（x）=ax3+（3a-3）x2-6x
∴g'（x）=3ax2+6（a-1）x-6，
令g'（x）=0，方程的两个根为x1，2=
即
又g（0）=0，g（2）=20a-24，
当0＜
当g（0）=0≥g（2）=20a-24时，a≤
∴
当
显然有g（0）=0＞g（2）=20a-24成立，解得a＜
∴a＜
综上所述，
故答案为：
设函数f（x）=（1+x）2-2ln（1+x）（1）若对任意的x∈[0，1]，不等式f（x）-m≤0都成立，求实数m的最小值；（2）求函数g（x）=f（x）-x2-x在区间[0，2]上的极值．
正确答案
解：（1）设f（x）在[0，1]上的最大值是f（x）max，
∵对任意的x∈[0，1]，不等式f（x）-m≤0都成立，
∴f（x）max≤m．
∵
当x∈[0，1]时，f′（x）≥0，
故f（x）在[0，1]内为增函数．
∴f（x）max=f（1）=4-2ln2，
∴m≥4-2ln2，
即实数m的最小值是4-2ln2．
（2）∵g（x）=f（x）-x2-x=1+x-2ln（1+x），
∴
当x＞1时，g′（x）＞0；当-1＜x＜1时，g′（x）＜0，
∴g（x）在[0，1]上是减函数，在（1，2]上是增函数，
∴g（x）在[0，2]上的极小值为g（1）=2-2ln2．
解析
解：（1）设f（x）在[0，1]上的最大值是f（x）max，
∵对任意的x∈[0，1]，不等式f（x）-m≤0都成立，
∴f（x）max≤m．
∵
当x∈[0，1]时，f′（x）≥0，
故f（x）在[0，1]内为增函数．
∴f（x）max=f（1）=4-2ln2，
∴m≥4-2ln2，
即实数m的最小值是4-2ln2．
（2）∵g（x）=f（x）-x2-x=1+x-2ln（1+x），
∴
当x＞1时，g′（x）＞0；当-1＜x＜1时，g′（x）＜0，
∴g（x）在[0，1]上是减函数，在（1，2]上是增函数，
∴g（x）在[0，2]上的极小值为g（1）=2-2ln2．
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