热门试卷

解：（Ⅰ）函数h（x）的定义域为（0，+∞），

∵h（x）=lnx-x+1，∴h′（x）=-1=，

当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0．

∴h（x）在（0，1）上是单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

∴h（x）max=h（1）=0，即函数的最大值为0．

（Ⅱ）若mg（x2）-mg（x1）-x1f（x1）+x2f（x2）＞0恒成立，只需mg（x2）+x2f（x2）＞mg（x1）+x1f（x1），

设φ（x）=mg（x）+xf（x）=mx2+xlnx，

又0＜x2＜x1，则只需φ（x）在（0，+∞）上单调递减．

∴φ′（x）=2mx+1+lnx≤0在（0，+∞）上成立，得2m≤，

设t（x）=，则t′（x）=，知函数t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，即t（x）min=t（1）=-1．

∴存在实数m≤-，使mg（x2）-mg（x1）-x1f（x1）+x2f（x2）恒为正数．

（1）解：f（x）=-x2+ln（1+2x）的定义域为（-，+∞）

又f′（x）=，

由f′（x）＞0且得-4x2-2x+2＞0，

∴-＜x＜时函数是增函数；

同理x＞时，函数是减函数．

∴x=时，函数取得最大值-+ln2；

（2）证明：∵b＞a＞0，∴b+＞a+＞

根据（1）知：当x＞时，函数是减函数．

∴f（b+）＞f（a+），

∴-（b+）2+ln（1+2b+1）＜-（a+）2+ln（1+2a+1）

化简得ln＞（a+b）（a+b+1）．

解：（1）求导函数可得f′（x）=x2-2ax+a2-1

∵x=1是f（x）的极值点，∴f′（1）=0，∴a2-2a=0，∴a=0或2

（2）∵（1，f（1））在x+y-3=0 上，∴f（1）=2

∵（1，2）在y=f（x）的图象上，∴2=-a+a2-1+b

又∵f′（1）=-1，∴1-2a+a2-1=-1，∴a2-2a+1=0

∴a=1，

∴

∴f′（x）=x2-2x

∴由f′（x）=0，可知x=0和x=2 是f（x） 的极值点

∵，，f（-2）=-4，f（4）=8

∴f（x）在区间[-2，4]上的最大值为8