函数的最值与导数的关系_章节学习

1

题型：填空题

|

填空题

已知函数f（x）=x++a2，g（x）=x3-a3+2a+1，若存在ξ1、ξ2∈[]（a＞1），使得|f（ξ1）-g（ξ2）|≤9，则a的取值范围是______．

正确答案

（1，4]

解析

解：存在ξ1、ξ2∈[]（a＞1），使得|f（ξ1）-g（ξ2）|≤9，等价于存在x∈[]（a＞1），使得|f（x）min-g（x）max|≤9

∵函数f（x）=x++a2，ξ1∈[]（a＞1），∴f（x）=x++a2≥2+a2，即f（x）min=2+a2；

∵g（x）=x3-a3+2a+1，∴g′（x）=3x2，∴函数g（x）在[]（a＞1）上单调递增，

∴g（x）max=g（a）=2a+1

∴|2+a2-2a-1|≤9

∴-3≤a-1≤3

∴-2≤a≤4

∵a＞1，∴1＜a≤4．

故答案为：（1，4]．

1

题型：填空题

|

填空题

若函数f（x）=x3-x在（a，10-a2）上有最小值，则a的取值范围为______．

正确答案

[-2，1）

解析

解：∵f（x）=x3-x，

∴f′（x）=x2-1=（x-1）（x+1）；

故f（x）=x3-x在（-∞，-1）上是增函数，

在（-1，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；

f（x）=x3-x=f（1）=-；

故x=1或x=-2；

故-2≤a＜1＜10-a2；

解得，-2≤a＜1

故答案为：[-2，1）．

1

题型：填空题

|

填空题

函数f（x）=（x＞0）的值域是______．

正确答案

[2，+∞）

解析

解：方法一，函数f（x）==x+-2，

当x＞0时，x+-2≥2-2=2，当且仅当x=2时“=”成立，

∴f（x）的值域是[2，+∞）；

方法二，函数f（x）==x+-2，

∵f′（x）=1-==，

当x＞0时，f′（x）在（0，2]上小于0，在[2，+∞）上大于0，

∴f（x）在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数，

∴f（x）min=f（2）=2；

∴f（x）的值域是[2，+∞）；

故答案为：[2，+∞）．

1

题型：简答题

|

简答题

现需要对某旅游景点进一步改造升级，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足y=，且∈[t，+∞），其中为大于的常数．当x=10时，y=9.2．

（Ⅰ）求y=f（x）的解析式和投入x的取值范围；

（Ⅱ）求旅游增加值y取得最大值时对应的x值．

正确答案

解：（Ⅰ）因当x=10时，y=9.2，即，解得．

所以，

又因为，且，解得

即投入x的取值范围是．

（Ⅱ）对f（x）求导，得，

又因为x＞6，所以从广义上讲有，

当6＜x＜50时，f‘（x）＞0，即f（x）递增，当x＞50时，f'（x）＜0，即f（x）递减．

所以当x=50时为极大值点，也是最大值点，于是

①当，即时，投入50万元改造时取得最大增加值；

②当时，即时，投入万元改造时取得最大增加值．

解析

解：（Ⅰ）因当x=10时，y=9.2，即，解得．

所以，

又因为，且，解得

即投入x的取值范围是．

（Ⅱ）对f（x）求导，得，

又因为x＞6，所以从广义上讲有，

当6＜x＜50时，f‘（x）＞0，即f（x）递增，当x＞50时，f'（x）＜0，即f（x）递减．

所以当x=50时为极大值点，也是最大值点，于是

①当，即时，投入50万元改造时取得最大增加值；

②当时，即时，投入万元改造时取得最大增加值．

1

题型：简答题

|

简答题

已知函数f（x）=x2-lnx+x+1，g（x）=aex++ax-2a-1，其中a∈R．

（1）若a=1，求函数g（x）在[1，3]上的最值；

（2）试探究函数f（x）的单调性；

（3）若对任意的x∈（0，+∞），g（x）≥f′（x）恒成立，求正实数a的最小值．

正确答案

解：（1）当a=1时，g（x）=ex++x-3，

g′（x）=ex-+1；

故当x∈[1，3]时，g′（x）＞0；

故g（x）在[1，3]上是增函数，

故g（x）max=g（3）=e3+，g（x）min=g（1）=e-1；

（2）∵f（x）=x2-lnx+x+1的定义域为（0，+∞），

∴f′（x）=ax-+1=，

当a=0时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；

当a≠0时，对二次方程ax2+x-1=0，△=1+4a；

①若△=1+4a≤0，即a≤-时，ax2+x-1≤0恒成立，

故≤0恒成立；

故f（x）在（0，+∞）上是减函数；

②若△=1+4a＞0，即a＞-时，

方程ax2+x-1=0的两根为x1=--，x2=-+；

（i）若-＜a＜0，则--＞-+＞0；

∴f（x）在（-+，--）上是增函数，

在（0，-+），（--，+∞）上是减函数；

（ii）若a＞0，--＜0＜-+；

故f（x）在（0，-+）上是减函数，

在（-+，+∞）上是增函数；

综上所述，

当a=0时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；

当a≤-时，f（x）在（0，+∞）上是减函数；

当-＜a＜0时，f（x）在（-+，--）上是增函数，

在（0，-+），（--，+∞）上是减函数；

当a＞0时，f（x）在（0，-+）上是减函数，

在（-+，+∞）上是增函数．

（3）令h（x）=g（x）-f′（x）

=aex++ax-2a-1-（ax-+1）

=aex+-2（a+1），x∈（0，+∞），a∈（0，+∞）；

则h′（x）=aex-=；

令P（x）=aexx2-a-1，则P′（x）=aexx（x+2）＞0，

故P（x）在（0，+∞）上是增函数，

∵P（0）=-a-1＜0，且当x→+∞时，P（x）→+∞；

∴∃x0∈（0，+∞），使P（x0）=0；

∴当x∈（0，x0）时，P（x）＜0，即h′（x）＜0，故h（x）在（0，x0）上单调递减；

当x∈（x0，+∞）时，P（x）＞0，即h′（x）＞0，故h（x）在（x0，+∞）上单调递增；

∴h（x）min=h（x0）=a+-2（a+1），①

由P（x0）=0得，a•-a-1=0，故a=，②

代入①中得，h（x0）=+-2（a+1）；

对任意的x∈（0，+∞），g（x）≥f′（x）恒成立可化为+-2（a+1）≥0；

又∵a＞0，

∴+-2≥0，又由x0＞0解得，

0＜x0≤1，

由②得，•=，

易知q（x）=exx2在（0，1]上是增函数，

故0＜≤e；

故a≥；

故正实数a的最小值为．

解析

解：（1）当a=1时，g（x）=ex++x-3，

g′（x）=ex-+1；

故当x∈[1，3]时，g′（x）＞0；

故g（x）在[1，3]上是增函数，

故g（x）max=g（3）=e3+，g（x）min=g（1）=e-1；

（2）∵f（x）=x2-lnx+x+1的定义域为（0，+∞），

∴f′（x）=ax-+1=，

当a=0时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；

当a≠0时，对二次方程ax2+x-1=0，△=1+4a；

①若△=1+4a≤0，即a≤-时，ax2+x-1≤0恒成立，

故≤0恒成立；

故f（x）在（0，+∞）上是减函数；

②若△=1+4a＞0，即a＞-时，

方程ax2+x-1=0的两根为x1=--，x2=-+；

（i）若-＜a＜0，则--＞-+＞0；

∴f（x）在（-+，--）上是增函数，

在（0，-+），（--，+∞）上是减函数；

（ii）若a＞0，--＜0＜-+；

故f（x）在（0，-+）上是减函数，

在（-+，+∞）上是增函数；

综上所述，

当a=0时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；

当a≤-时，f（x）在（0，+∞）上是减函数；

当-＜a＜0时，f（x）在（-+，--）上是增函数，

在（0，-+），（--，+∞）上是减函数；

当a＞0时，f（x）在（0，-+）上是减函数，

在（-+，+∞）上是增函数．

（3）令h（x）=g（x）-f′（x）

=aex++ax-2a-1-（ax-+1）

=aex+-2（a+1），x∈（0，+∞），a∈（0，+∞）；

则h′（x）=aex-=；

令P（x）=aexx2-a-1，则P′（x）=aexx（x+2）＞0，

故P（x）在（0，+∞）上是增函数，

∵P（0）=-a-1＜0，且当x→+∞时，P（x）→+∞；

∴∃x0∈（0，+∞），使P（x0）=0；

∴当x∈（0，x0）时，P（x）＜0，即h′（x）＜0，故h（x）在（0，x0）上单调递减；

当x∈（x0，+∞）时，P（x）＞0，即h′（x）＞0，故h（x）在（x0，+∞）上单调递增；

∴h（x）min=h（x0）=a+-2（a+1），①

由P（x0）=0得，a•-a-1=0，故a=，②

代入①中得，h（x0）=+-2（a+1）；

对任意的x∈（0，+∞），g（x）≥f′（x）恒成立可化为+-2（a+1）≥0；

又∵a＞0，

∴+-2≥0，又由x0＞0解得，

0＜x0≤1，

由②得，•=，

易知q（x）=exx2在（0，1]上是增函数，

故0＜≤e；

故a≥；

故正实数a的最小值为．

热门试卷

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析