同角三角函数间的基本关系及应用
共7627题

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同角三角函数间的基本关系及应用
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题型：简答题

简答题

已知点A（-2，0），B（0，-2），C（2sinθ，cosθ）．

（Ⅰ）若||=||，求tanθ和的值；

（Ⅱ）若（+2）•=1，其中O为坐标原点，求sinθ•cosθ的值．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意可得，=（2sinθ+2，cosθ），=（2sinθ，cosθ+2），

若||=||，则（2sinθ+2）2+cos2θ=（2sinθ）2+（cosθ+2）2，化简可得 2sinθ=cosθ，

∴tanθ=，===-．

（Ⅱ）若（+2）•=（-2，-4）•（2sinθ，cosθ）=-4sinθ-4cosθ=1，

则 sinθ+cosθ=-，平方可得 1+2sinθcosθ=，∴sinθcosθ=-．

解析

解：（Ⅰ）由题意可得，=（2sinθ+2，cosθ），=（2sinθ，cosθ+2），

若||=||，则（2sinθ+2）2+cos2θ=（2sinθ）2+（cosθ+2）2，化简可得 2sinθ=cosθ，

∴tanθ=，===-．

（Ⅱ）若（+2）•=（-2，-4）•（2sinθ，cosθ）=-4sinθ-4cosθ=1，

则 sinθ+cosθ=-，平方可得 1+2sinθcosθ=，∴sinθcosθ=-．

题型：单选题

单选题

在△ABC中，若cos2B+3cos（A+C）+2=0，则sinB的值是（　　）

正确答案

解析

解：cos2B+3cos（A+C）+2=0，

化简得：cos2B+3cos（π-B）+2=0，

即2cos2B-3cosB+1=0，

即（2cosB-1）（cosB-1）=0，又B∈（0，π）

解得cosB=或cosB=1（舍去），

所以sinB==．

故选C

题型：简答题

简答题

在△ABC中，已知 A＞B，且tanA、tanB是方程6x2-5x+1=0的两个根．

（1）求tanA、tanB、tan（A+B）的值；

（2）若AB=，求△ABC的面积．

正确答案

解：（1）由所给条件A＞B，且tanA、tanB是方程6x2-5x+1=0 的两根，可得tanA+tanB=，tanA•tanB=，

解得tanA=，tanB=，∴tan（A+B）===1．

（2）∵A+B+C=π，∴C=π-（A+B），∴tanC=-tan（A+B）=-1．

∵C为三角形的内角，∴sinC=．

∵tanA=，A为三角形的内角，∴sinA=，

由正弦定理得：，即，解得BC=，

由tanB=，求得sinB=，∴S△ABC===．

解析

解：（1）由所给条件A＞B，且tanA、tanB是方程6x2-5x+1=0 的两根，可得tanA+tanB=，tanA•tanB=，

解得tanA=，tanB=，∴tan（A+B）===1．

（2）∵A+B+C=π，∴C=π-（A+B），∴tanC=-tan（A+B）=-1．

∵C为三角形的内角，∴sinC=．

∵tanA=，A为三角形的内角，∴sinA=，

由正弦定理得：，即，解得BC=，

由tanB=，求得sinB=，∴S△ABC===．

题型：填空题

填空题

若tanα=-2，则sin2α+2sinαcosα-3cos2α=______．

正确答案

解析

解：sin2α+2sinαcosα-3cos2α==，

把tanα=-2代入上式可得==．故 sin2α+2sinαcosα-3cos2α=．

故答案为：．

题型：单选题

单选题

若α∈（0，），则的最大值为（　　）

正确答案

解析

解：∵α∈（0，），tanα＞0，可得，

（当且仅当tanα=2时等号成立）．

故的最大值为，

故选：B．

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