热门试卷

（1） ，，成等差数列

即

化简得

解得：或

因为数列的各项均为正数，所以不合题意

所以的通项公式为：.

（2）由得

  ，当且仅当，即时等号成立-

 的取值范围

（1）解：数列不能结束，各数列依次为；；；；；…。

以下重复出现，所以不会出现所有项均为的情形，

（2）解：（ⅰ）因为的各项之和为，且， 所以为的最大项，

所以最大，即，或，

当时，可得

由，得，即，故。

当时，同理可得 ，，

（ⅱ）方法一：由，则经过次“变换”得到的数列分别为：；；；；；。

由此可见，经过次“变换”后得到的数列也是形如“”的数列，与数列“结构”完全相同，但最大项减少12。

因为，

所以，数列经过次“变换”后得到的数列为。

接下来经过“变换”后得到的数列分别为：；；；；；；，……

从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小。

所以经过次“变换”得到的数列各项和最小，的最小值为。

方法二：若一个数列有三项，且最小项为，较大两项相差，则称此数列与数列 “结构相同”。

若数列的三项为，则无论其顺序如何，经过“变换”得到的数列的三项为(不考虑顺序) 。

所以与结构相同的数列经过“变换”得到的数列也与结构相同，除外其余各项减少，各项和减少。

因此，数列经过次“变换”一定得到各项为 (不考虑顺序)的数列。

通过列举，不难发现各项为的数列，无论顺序如何，经过“变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少。

所以，至少通过次“变换”，得到的数列各项和最小，故的最小值为。

（1），，，，

所以       ……………………………………4分

（2） ，   则 ，从而

则      所以

解得： （，舍去）        ……………….6分

所以集合 .               ………………………………………7分

（3）结论成立.                              ……………………………………………8分

易知是有理数，所以对一切正整数，为0或正有理数，

设（是非负整数，是正整数，且互质）

由，可得；           …………………………………9分

若，设（，是非负整数）

则 ，而由得

，故，，可得  ………11分

若则，

若均不为0，则这个正整数互不相同且都小于，但小于的正整数共有个，矛盾.

故中至少有一个为0，即存在，使得.

从而数列中以及它之后的项均为0，所以对于大于的自然数，都有  …………13分