热门试卷

解：

①根据正三棱锥的性质可知对棱互相垂直，故正确

②∵AC∥DE，AC⊄面PDE，DE⊂面PDE∴AC∥平面PDE，故正确

③若AB⊥平面PDE，则AB⊥DE，显然不正确

④点P在底面的投影是正三角形的中心，而此中心不在直线DE上，故平面PDE与平面ABC不垂直，故不正确

故选B

解：如图，

∵SO⊥平面ABCD，O为底面的中心，

∴∠SAO即为侧棱与底面所成的角，

∵四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都是2，

∴AO=，

在Rt△SOA中，，

∴∠SAO=45°．

故选：C．

解：由题意平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA⊂β，CB⊂β，且DA⊥α，CB⊥α，

∴△PAD与△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC，∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，∴PB=2PA．

作PM⊥AB，垂足为M，则PM⊥β，令AM=t∈R，在两个Rt△PAM与Rt△PBM中，AM是公共边及PB=2PA，∴PA2-t2=4PA2-（6-t）2 ，解得PA2=12-4t．

∴PM=，即此四棱锥的高等于．

∴S=×AB×PM=×6×=3≤12．

即三角形面积的最大值为12，

故选C．

解：对于①，如图0所示，

PA⊥平面ABC，

AC⊂平面ABC，∴PA⊥AC，∴△PAC是直角三角形；

同理，△PAB是直角三角形，

又△ABC的三边长分别为AB=5，BC=4，AC=3，

∴AB2=AC2+BC2，

∴AC⊥BC，△ABC是直角三角形；

又PA⊥BC，PA∩AC=A，

∴BC⊥平面PAC，

∴BC⊥PC，∴△PBC是直角三角形；

即三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形，①正确；

对于②，如图1所示，

∵△ABC是直角三角形，

且M是AB的中点，

∴MA=MB=MC；

又PM丄平面ABC，

∴Rt△PMA≌Rt△PMB≌Rt△PMC，

∴PA=PB=PC，②正确；

对于③，如图2所示，

当PC⊥面ABC时，

∴△PCM的面积为×PC×CM=×5×CM

又∵CM作为垂线段时最短．为=，

∴△PCM面积的最小值为×5×=6，③不正确；

对于④，如图3所示，

当PB=5，PB⊥平面ABC时，AB=5，BC=4，AC=3，

∴直三棱锥P-ABC的外接球可以看做是

AC=3，BC=4，PB=5为棱长的长方体的外接球，

∴2R=PA=5，

∴R=，

其体积为•=，④正确．

综上，正确的命题为①②④．

故选：C．