- 空间几何体的结构
- 共7713题
△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕AC边所在直线旋转一周所得几何体的体积为V，表面积为S，则（ ）
正确答案
解析
解：由题意知，∵在Rt△ABC中，C=90°，AC=4，BC=3，
∴BA2=CB2+AC2=25，
∴AB=5，
以BC为半径的圆的周长=2π×3=6π，底面面积=π32=9π，
得到的圆锥的侧面面积=
表面积=9π+15π=24π，
圆锥的体积为：
故选D．
若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为______．
正确答案
解析
解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
则圆锥的侧面积为：πrl，过轴的截面面积为：rh，
∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，
∴l=2h，
设母线与轴的夹角为θ，
则cosθ=
故θ=
故答案为：
如图所示，在三棱台A′B′C′-ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′-ABC，则剩余的部分是（ ）
正确答案
解析
三棱台A′B′C′-ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′-ABC，
剩余部分是四棱锥A′-BCC′B′．
故选：B．
三棱锥P-ABC的底面为等腰直角三角形，∠C=90°，PC⊥AC，PC⊥BC，若PC=AC=4，则△ABP的面积为______．
正确答案
解析
∴三棱锥P-ABC是正方体的一个角，
∴△ABP是一个边长为4
则△ABP的面积为
故答案为：
A
B
C
D
正确答案
解析
解：取CD中点F，AC⊥EF，又∵SB在面ABCD内的射影为BD且AC⊥BD，∴AC⊥SB，取SC中点Q，∴EQ∥SB，
∴AC⊥EQ，又AC⊥EF，∴AC⊥面EQF，因此点P在FQ上移动时总有AC⊥EP．
故选A．
把边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，构成三棱锥ABCD，则下列命题：
①以A、B、C、D四点为顶点的棱锥体积最大值为
②当体积最大时直线BD和平面ABC所成的角的大小为45°；
③B、D两点间的距离的取值范围是（0，
④当二面角D-AC-B的平面角为90°时，异面直线BC与AD所成角为45°．
其中正确结论个数为（ ）
正确答案
解析
解：把边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，构成三棱锥ABCD，如图所示，
①以A、B、C、D四点为顶点的棱锥，当侧面ACD⊥底面ABC时，体积最大值=
②由①可知：当体积最大时直线BD和平面ABC所成的角的大小为∠OBD=45°，正确；
③B、D两点间的距离的取值范围是（0，
④当二面角D-AC-B的平面角为90°时，由①可知：异面直线BC与AD所成角为90°，因此不正确．
综上可知：只有①②正确．
故选：C．
已知甲烷CH4的分子结构是中心一个碳原子，外围有4个氢原子（这4个氢原子构成一个正四面体的四个顶点）．设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为θ，则cosθ等于（A）
A-
B
C-
D
正确答案
解析
解：将正四面体嵌入正方体中，设正方体的棱长为2，计算易得cosθ=
故选A．
直角三角形两直角边边长分别为3和4，将此三角形绕其斜边旋转一周，求得到的旋转体的表面积和体积．
正确答案
解：
它的底面半径等于直角三角形斜边上的高，高分别等于两条直角边在斜边的射影长
∵两直角边边长分别为3和4，
∴斜边长为
由面积公式可得斜边上的高为h=
可得所求旋转体的底面半径r=
因此，两个圆锥的侧面积分别为
S上侧面=π×
∴旋转体的表面积S=
由锥体的体积公式，可得旋转体的体积为V=
解析
解：
它的底面半径等于直角三角形斜边上的高，高分别等于两条直角边在斜边的射影长
∵两直角边边长分别为3和4，
∴斜边长为
由面积公式可得斜边上的高为h=
可得所求旋转体的底面半径r=
因此，两个圆锥的侧面积分别为
S上侧面=π×
∴旋转体的表面积S=
由锥体的体积公式，可得旋转体的体积为V=
底面半径为2的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，则截面圆的面积为______．
正确答案
π
解析
解：由于底面半径为2的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，截面三角形，与原三角形相似，
所以截面圆的半径为1，则截面圆的面积为π．
答案：π
在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是______．
正确答案
解析
所以OA=
所以旋转体的体积：
故答案为：
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