热门试卷

解：设母线长为l，因圆锥有三条母线两两垂直，

则这三条母线可以构成以它们为侧棱、以底面为边长为l的正三角形的正三棱锥，

故由正弦定理得，圆锥的底面直径2R=，解得R=，

∴圆锥侧面展开图的圆心角为：=，

故答案为：．

解：假设顶点无限趋近于底面的中心，那么这3个侧面就趋向一个平面，那夹角180°．

假设顶点无限远离，那么三个侧面都垂直于底面，底面边的夹角就是侧面二面角的大小为60°．

故答案为：60°＜α＜180°

解：①四面体ABCD体积最大值为两个面互相垂直，它的体积为；所以①正确；

②三棱锥A-BCD外接球的半径为，所以三棱锥A-BCD外接球的表面积为4=25π；②正确；

③若E、F分别为棱AC、BD的中点，连接AF，CF则AF=CF，根据等腰三角形三线合一得到EF⊥AC；

连接DE，BE，容易判断△ACD≌△ACB，得到DE=BE，所以EF⊥BD；所以③正确；

④当二面角A-BD-C为直二面角时，以C为原点CB，CD所在直线分别为x，y轴，则由向量的数量积可以得到直线AB、CD所成角的余弦值为；所以④正确．

⑤当二面角A-BD-C的大小为60°时，棱AC的长为

在直角三角形ABD中，AB=4，AD=3，BD=5，

作AE⊥BD，CF⊥BD，则AE=CF=，DE=BF=，

同理直角三角形ABC中，则EF=BD-DE-BF=，

在平面ABD内，过F作FH∥AE，且FH=AE，连接AH，易得四边形AEFH为矩形，

则AH=EF=，AH∥EF，

FH⊥DB，又CF⊥DB，即有∠CFH为二面角C-BD-A的平面角，且为60°，

即CH=CF=，

由BD⊥平面CFH，得到BD⊥CH，

即有AH⊥CH，

则AC=故⑤错误；

故答案为：①②③④

解：取BC的中点D，连接ED与FD

∵E、F分别是SC和AB的中点，点D为BC的中点

∴ED∥SB，FD∥AC

而SB⊥AC，SB=AC=2则三角形EDF为等腰直角三角形

则ED=FD=1，即EF=

故答案为：．

解：设圆锥的底面半径为 r，由题意圆锥的轴截面是一个正三角形，

可知圆锥的侧面积为：πr•2r=2πr2．

圆柱的侧面积为：2πrr=2πr2．

所以圆柱的侧积面与圆锥的侧面积之比为：2πr2：2πr2=

故答案为：．

解：△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，三棱锥的体积的最大值，是A到底面的距离最大时取得，就是侧面ABC与底面BCD垂直时取得最大值．此时

△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为a，

∴S△ABC=S△BCD=a×=，

S△ABD=S△ACD=××=，

∴当四面体的体积最大时，其表面积S=．

故答案为：．

解：设圆锥的底面半径为R，则由题意得，2πR=π×4，即R=2，

故答案为：2．