- 空间几何体的结构
- 共7713题
已知：在三棱锥O-ABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥AB．
正确答案
证明：∵OA⊥BC，∴
∵
∴
同理：由OB⊥AC得
由①-②得
∴
∴
∴
∴OC⊥AB．
解析
证明：∵OA⊥BC，∴
∵
∴
同理：由OB⊥AC得
由①-②得
∴
∴
∴
∴OC⊥AB．
求证：（1）O为△ABC的垂心；
（2）O在△ABC内；
（3）设SO=h，则
正确答案
∴SA⊥平面SBC，BC⊂平面SBC．∴SA⊥BC．
而AD是SA在平面ABC上的射影，∴AD⊥BC．
同理可证AB⊥CF，AC⊥BE，故O为△ABC的垂心．
（2）证明△ABC为锐角三角形即可．不妨设a≥b≥c，
则底面三角形ABC中，AB=
用余弦定理求得cos∠ACB=
∴∠ACB为锐角，△ABC为锐角三角形．故O在△ABC内．
（3）SB•SC=BC•SD，
故SD=
∴
解析
∴SA⊥平面SBC，BC⊂平面SBC．∴SA⊥BC．
而AD是SA在平面ABC上的射影，∴AD⊥BC．
同理可证AB⊥CF，AC⊥BE，故O为△ABC的垂心．
（2）证明△ABC为锐角三角形即可．不妨设a≥b≥c，
则底面三角形ABC中，AB=
用余弦定理求得cos∠ACB=
∴∠ACB为锐角，△ABC为锐角三角形．故O在△ABC内．
（3）SB•SC=BC•SD，
故SD=
∴
下面的图形可以构成正方体的是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：根据所给的四个展开图，
解题时可以把其中一个看成底面，让其他的面折叠，
若能形成正方体，则这是正确的，
故选C．
已知集合M={P|P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上的点，且AP=
正确答案
解析
∴这条轨迹的长度是：3×
故答案为 
下列命题：（1）各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱．
（2）对角面是全等的矩形的平行六面体是长方体．
（3）长方体一定是正四棱柱．
（4）相邻两侧面是矩形的棱柱是直棱柱．
其中正确命题的个数是（ ）
正确答案
解析
解：（1）由棱柱的定义可得：棱柱的侧面都是矩形，所以各侧面都是正方形的棱柱一定是直棱柱，但是底面不一定是正多边形，所以（1）不正确．
（2）根据棱柱与平行六面体的定义可得（2）正确．
（3）长方体的底边不一定相等，所以长方体不一定是正四棱柱，所以（3）错误．
（4）相邻两侧面垂直于底面，则侧棱垂直于底面，所以该棱柱为直棱柱，所以（4）正确．
故选C．
已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q是面对角线A1C1上的两个不同动点．给出以下判断：
①存在P，Q两点，使BP⊥DQ；
②存在P，Q两点，使BP∥DQ；
③若|PQ|=1，则四面体BDPQ的体积一定是定值；
④若|PQ|=1，则四面体BDPQ的表面积是定值．
⑤若|PQ|=1，则四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值．
其中真命题是______．（将正确命题的序号全填上）
正确答案
①③⑤
解析
BP与DQ异面，故②错误；
设平面A1B1C1D1两条对角线交点为O，则易得PQ⊥平面OBD，
平面OBD将四面体BDPQ可分成两个底面均为平面OBD，高之和为PQ的棱锥，故四面体BDPQ的体积一定是定值，故③正确；
若|PQ|=1，则四面体BDPQ的表面积不是定值；
四面体BDPQ在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度均为1的四边形，其面积为定值，四面体BDPQ在四个侧面上的投影，均为上底为
故答案为：①③⑤．
向高为8m，底面边长为8m的倒置正四棱锥形的容器内注水，其速度为每分钟
正确答案
解析
解：设容器中水的体积在t分钟时为V，水深为h，V=
又V=
图知
∴V=
∴
∴h′=
h=5，t=
∴当h=5米时，水面上升速度为 
故答案为：
若正六棱锥P-ABCDEF的侧棱PA与底边BC成45°角，底面边长为a，则对角面面积最大的值是______．
正确答案
a2
解析
∵正六棱锥P-ABCDEF的侧棱PA与底边BC成45°角，
∴∠PAO=45°．
∵底面边长为a，
∴AO=PO=a，
AD=2a，
∴对角面面积最大的值：
S=
故答案为：a2．
如果一个四面体的三个面是直角三角形，下列三角形：（1）直角三角形；（2）锐角三角形；（3）钝角三角形；（4）等腰三角形；（5）等腰直角三角形．那么可能成为这个四面体的第四个面是______．（填上你认为正确的序号）
正确答案
（1）（2）（4）（5）
解析
解：如果一个四面体的三个面是直角三角形，
第四面可能是直角三角形，
也可能是锐角三角形，
也可能是等腰三角形，
还可能是等腰直角三角形，
但是不能是钝角三角形．
故答案为：（1）（2）（4）（5）．
已知正四棱锥P-ABCD的高为4
正确答案
32
解析
解：
OE=
故答案为：32
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