- 空间几何体的结构
- 共7713题
（I）求证：CM⊥EM；
（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角．
正确答案
解：方法一：（I）证明：因为AC=BC，M是AB的中点，
所以CM⊥AB．
又EA⊥平面ABC，
所以CM⊥EM．
（II）解：过点M作MH⊥平面CDE，垂足是H，连接CH交延长交ED于点F，
连接MF，MD．∠FCM是直线CM和平面CDE所成的角．
因为MH⊥平面CDE，ED⊥MH，
又因为CM⊥平面EDM，
所以CM⊥ED，
则ED⊥平面CMF，因此ED⊥MF．
设EA=a，
在直角梯形ABDE中，
所以DE=3a，
得△EMD是直角三角形，其中∠EMD=90°，
所以
在Rt△CMF中，
所以∠FCM=45°，
故CM与平面CDE所成的角是45°．
过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立直角坐标系C-xyz，设EA=a，
则A（2a，0，0），B（0，2a，0），E（2a，0，a）．D（0，2a，2a），M（a，a，0）．
（I）证明：因为
所以
（II）解：设向量n=（1，y0，z0）与平面CDE垂直，则
即
因为
所以y0=2，x0=-2，
直线CM与平面CDE所成的角θ是n与
所以θ=45°，
因此直线CM与平面CDE所成的角是45°．
解析
解：方法一：（I）证明：因为AC=BC，M是AB的中点，
所以CM⊥AB．
又EA⊥平面ABC，
所以CM⊥EM．
（II）解：过点M作MH⊥平面CDE，垂足是H，连接CH交延长交ED于点F，
连接MF，MD．∠FCM是直线CM和平面CDE所成的角．
因为MH⊥平面CDE，ED⊥MH，
又因为CM⊥平面EDM，
所以CM⊥ED，
则ED⊥平面CMF，因此ED⊥MF．
设EA=a，
在直角梯形ABDE中，
所以DE=3a，
得△EMD是直角三角形，其中∠EMD=90°，
所以
在Rt△CMF中，
所以∠FCM=45°，
故CM与平面CDE所成的角是45°．
过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立直角坐标系C-xyz，设EA=a，
则A（2a，0，0），B（0，2a，0），E（2a，0，a）．D（0，2a，2a），M（a，a，0）．
（I）证明：因为
所以
（II）解：设向量n=（1，y0，z0）与平面CDE垂直，则
即
因为
所以y0=2，x0=-2，
直线CM与平面CDE所成的角θ是n与
所以θ=45°，
因此直线CM与平面CDE所成的角是45°．
A[
B[
C[
D[
正确答案
解析
解：根据观察可知：当M∈PA，N∈PC时，∠APC=90°，因此sin∠MPN可取得最大值1；
当M∈PB，N∈PC时，∠MPN=60°，因此sin∠MPN可取得最小值
∴sin∠MPN的取值范围是
故选：C．
若正六棱锥的底面边长是2，高为1，则其顶点到底面各边的距离为______．
正确答案
2
解析
G为AB的中点，连接OG，SG，
根据正六棱锥的性质：
正六棱锥的底面边长是2，高为1，
∴OS=1，OG=
∴SG=2，
故答案为；2
将函数
正确答案
8π
解析
解：根据题意，作出图象，可得
函数
和线段BC构成，其中A（-2，0），B（0，2），C（2，0）
因此，该图象绕x轴旋转一周，所得几何体是由半球和圆锥组合而成
半球的半径R=2，圆锥的底面半径为2，高等于2且母线长等于2
∵S半球=
∴所得几何体的表面积为S=S半球+S圆锥侧=
又∵V半球=
∴所得几何体的体积为V=V半球+V圆锥=
故答案为：
已知圆台的轴与母线所在直线的夹角为45°，若上底面的半径为1，高为1，求圆台的底面半径．
正确答案
解：∵圆台的轴与母线所在直线的夹角为45°，上底面的半径为1，高为1，
∴如图所示，
∴圆台的下底面半径为1+1•tan45°=2．
解析
解：∵圆台的轴与母线所在直线的夹角为45°，上底面的半径为1，高为1，
∴如图所示，
∴圆台的下底面半径为1+1•tan45°=2．
根据下列对于几何结构特征的描述，说出几何体的名称：
（1）由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其他面都是全等的矩形；
（2）一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形．
正确答案
解：（1）两个面互相平行且全等的五边形，则这两个面肯定是几何体的上、下底面，
其余各面是全等的矩形，则这些矩形是侧面，
符合直五棱柱的定义和结构特点，
故几何体的名称：直五棱柱；
（2）根据等腰三角形的对称性可知，
一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形，
相当于一个直角三角形绕着一直角边所在的直线旋转360°形成的封闭曲面所围成的图形，
符合圆锥的定义和结构特点，故几何体的名称：圆锥．
解析
解：（1）两个面互相平行且全等的五边形，则这两个面肯定是几何体的上、下底面，
其余各面是全等的矩形，则这些矩形是侧面，
符合直五棱柱的定义和结构特点，
故几何体的名称：直五棱柱；
（2）根据等腰三角形的对称性可知，
一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形，
相当于一个直角三角形绕着一直角边所在的直线旋转360°形成的封闭曲面所围成的图形，
符合圆锥的定义和结构特点，故几何体的名称：圆锥．
6、如果三棱锥S-ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的（ ）
正确答案
解析
解：侧面与底面所成的二面角都相等，并且顶点在底面的射影在底面三角形内则底面三条高的垂足、三棱锥的顶点和顶点在底面的射影这三者构成的3个三角形是全等三角形，所以顶点在底面的射影到底面三边的距离相等，所以是内心．故选D．
下列说法：
①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；
②一个几何体可以没有顶点；
③一个几何体可以没有棱；
④一个几何体可以没有面．
其中正确的个数是（ ）
正确答案
解析
解：如果我们只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．故根据几何体的定义，可知球没有顶点，有面，没有棱，故①④不正确，②③正确．
故选：B．
已知圆锥的母线长为4，侧面展开图的中心角为
A
B
C
D4π
正确答案
解析
解：设圆锥的底面半径为R，
∵侧面展开图的中心角为
∴R=1，圆锥的高为
∴圆锥的体积V=
故选：A．
如图，一圆锥内接于半径为R的球O，当圆锥的体积最大时，圆锥的高等于______．
正确答案
解析
则圆锥的底面半径r=
∴圆锥的体积V=
∵V‘=
∴由导数的性质知，当h=
故答案为：
扫码查看完整答案与解析