热门试卷

（Ⅰ）证明见解析

（ Ⅱ ）1:4

本题考查了空间几何体的线面与面面垂直的性质与判定以及几何体的体积计算等问题，考查了同学们的识图能力以及空间想象能力以及计算能力。

（I）证明：由已知

所以 

又  ，

所以   

因为  四边形为正方形，

所以  ,

又   ，

因此  ---------------------------------------------------

在中，因为分别为的中点，

所以    

因此   

又    ，

所以.

（Ⅱ）解：因为,四边形为正方形，不妨设，

则 ，

所以·

由于的距离，且

所以即为点到平面的距离，

三棱锥

所以

（1）证明：∵PD=a，AD=a，PA=a，

∴PD2+DA2=PA2，同理∴∠PDA=90°．

即PD⊥DA，PD⊥DC，∵AO∩DC=D，∴PD⊥平面ABCD．

（2）连接BD，∵ABCD是正方形

∴BD⊥AC

∵PD⊥平面ABCD

∴PD⊥AC

∵PD∩BD=D

∴AC⊥平面PDB∵PBÌ平面PDB

∴AC⊥PB∴PB与AC所成的角为90°

（3）设AC∩BD=0，过A作AE⊥PB于E，连接OE

∵AO⊥平面PBD∴OE⊥PB

∴∠AEO为二面角A-PB-D的平面角

∵PD⊥平面ABCD，AD⊥AB

∴PA⊥AB在Rt△PDB中，PB==a，

在Rt△PAB中，

∵S=PA•AB=•PB•AE

∴AE===a，AO=AC=a

在Rt△AOE中，sin∠AEO==，∴∠AEO=60°∴二面角A-PB-D的大小为60．

（4）设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，

设球心为S，连SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为RVP-ABCD=•S♢ABCD•PD=•a•a•a=a3S△PAD=S△PDC=•a•a=a2

S△PAB=S△PBC=•a•a=a2

S♢ABCD=a2

∵VP-ABCD=VS-PDA+VS-PDC+VS-ABCD+VS-PAB+VS-PBC

a3=R(S△PAD+S△PDC+S△PAB+S△PBC+S♢ABCD)a3=R(a2+a2+a2+a2+a2)

∴(2+)a2=a3∴R==a=(1-)a

∴球的最大半径为（1-a）

（5）设PB的中点为F，∵在Rt△PDB中：FP=FB=FD

在Rt△PAB中：FA=FP=FB，在Rt△PBC中：FP=FB=FC

∴FP=FB=FA=FC=FD∴F为四棱锥外接球的球心

则FP为外接球的半径∵FP=PB∴FP=a

∴四棱锥外接球的半径为a

（1）∵圆锥的底面半径为2，高为6，

∴内接圆柱的底面半径为x时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为3x

因此，内接圆柱的高h=6-3x；

∴圆柱的体积V=πx2（6-3x）（0＜x＜2）---------------------------（6分）

（2）由（1）得，圆柱的侧面积为

S侧=2πx（6-3x）=6π（2x-x2）（0＜x＜2）

令t=2x-x2，当x=1时tmax=1．可得当x=1时，（S侧）max=6π

∴当圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，侧面积有最大值为6π．------------------------------（7分）

故答案为：（1）①⑦⑨；（2）⑧；（3）（11）；

（4）⑩；（5）（14）；（6）（12）（16）；（7）③⑥（15）；（8）②④（13）；（9）⑤．