- 空间几何体的结构
- 共7713题
⊿ABC1与⊿ABC2均为等腰直角三角形,且腰长均为1,二面角C1-AB-C2为60o,
则点C
1与C2之间的距离可能是___________.(写出二个可能值即可)
正确答案
1或或
略
必做题, 本小题10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
在三棱锥ABCD中,平面DBC⊥平面ABC,△ABC为正三角形, AC=2,DC=DB=,
(1)求DC与AB所成角的余弦值;
(2)在平面ABD上求一点P,使得CP⊥平面AB D.
正确答案
(1)
(2)()
略
用棱长为a的正方体形纸箱放一棱长为1的正四面体形零件,使其能完全放入纸箱内,则此纸箱容积的最小值为______.
正确答案
由题意,正四面体放入后正方体容积最小,此时应该满足正四面体的棱长恰好是正方体的面对角线,即有2a2=1,故a=
正方体的容积是a3=(
2
2
)3=
故答案为
如图是正方体ABCD-A1B1C1D1的一种平面展开图,在这个正方体中,E、F、M、N均为所在棱的中点
①NE∥平面ABCD;
②FN∥DE;
③CN与AM是异面直线;
④FM与BD1垂直.
以上四个命题中,正确命题的序号是______.
正确答案
如图,NE∥平面ABCD,①正确;
FN不平行于DE,②错;
CN与AM是相交直线,③错;
FM与BD1所在的平面FNM垂直,故FM与BD1垂直,故④正确.
故答案为:①④.
四面体ABCD中,有如下命题:
①若AC⊥BD,AB⊥CD则AD⊥BC;
②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点,则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小;
③若点O是四面体ABCD外接球的球心,则O在平面ABD上的射影是△ABD的外心;
④若四个面是全等的三角形,则四面体ABCD是正四面体.
其中正确命题的序号是______(填上所有正确命题的序号).
正确答案
①若AC⊥BD,AB⊥CD则AD⊥BC
则连接各棱的中点后,我们易得到一个直三棱柱,
进而易得到AD⊥BC,故①正确;
②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点,
则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角或与异面直线AC与BD所成角互补,故②错误;
③若点O是四面体ABCD外接球的球心,
则点O到平面ABD三个顶点的距离相等,利用勾股定理易得
点O在平面ABD上的射影到ABD三个顶点的距离相等,即为△ABD的外心,故③正确;
④若四个面是全等的三角形,但不一定等边三角形,故四面体ABCD也不一定是正四面体,故④错误.
故答案为:①③
长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB1=4,AD1=3,则对角线AC1的取值范围是 .
正确答案
(4,5)
试题分析:不妨设,由题意知
,
,而
,即
,所以
.
已知矩形,
,点
是
的中点,将△
沿
折起到△
的位置,使二面角
是直二面角.
(1)证明:⊥面
;
(2)求二面角的余弦值.
正确答案
(1)证明见解析;(2).
试题分析:(1)一般是通过证明线面垂直得到线线垂直,即证明其中一条直线与另一条直线所在的平面垂直.(2)利用向量法求二面角的平面角,建立空间直角坐标系利用向量的一个运算求出两个平面的法向量,进而求出二面角的余弦值.
试题解析:(1)∵AD=2AB=2,E是AD的中点,
∴△BAE,△CDE是等腰直角三角形,∠BEC=90°,
又∵平面D'EC⊥平面BEC,面D'EC∩面BEC=EC
∴BE⊥面D'EC,∴BE⊥CD’.
又CD’⊥ED’,且BE∩ED’=E,故CD′⊥面BED’ 4分
(2)法一:设M是线段EC的中点,过M作MF⊥BC
垂足为F,连接D’M,D'F,则D'M⊥EC.
∵平面D'EC⊥平面BEC∴D'M⊥平面EBC
∴MF是D'F在平面BEC上的射影,由三垂线定理得:D'F⊥BC
∴∠D'FM是二面D'-BC-E的平面角. 8分
在Rt△D'MF中,,
,
∴二面角D’-BC—E的余弦值为 12分,
法二:如图,以EB,EC为x轴、y轴,过E垂直于平面BEC的射线为z轴,建立空间直角坐标系.
则
设平面BEC的法向量为;平面D'BC的法向量为
,
取x2=l
得
∴二面角D'-BC-E的余弦值为 12分
如图,直三棱柱中,
,
,D是AC的中点.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求几何体的体积.
正确答案
(Ⅰ)详见解析; (Ⅱ).
试题分析:(Ⅰ)利用线线平行证明线面平行,抓住直线PD∥B1A达到证明AB1∥平面BC1D;(Ⅱ)采用体积分割技巧,将所求的几何体转化为直三棱柱的体积简单两个三棱锥的体积.
试题解析:(Ⅰ)连接B1C交BC1于点P,连接PD.
由于BB1C1C是平行四边形,所以P为为B1C的中点
因为D为AC的中点,所以直线PD∥B1A,
又PDÌ平面B1CD,B1AË平面BC1D,
所以AB1∥平面BC1D. 6分
(Ⅱ)直三棱柱ABC-A1B1C1的体积V1=×2×2×2=4.
三棱锥C1-BDC的体积V2与三棱锥A1-BDA的体积V3相等,
V2=V3=×
×
×2×2×2=
.
所以几何体BDA1B1C1的体积V=V1-V2-V3=. 12分
(本小题满分16分)
如图,多面体中,
两两垂直,平面
平面
,
平面平面
,
.
(1)证明四边形是正方形;
(2)判断点是否四点共面,并说明为什么?
(3)连结,求证:
平面
.
正确答案
证明:(1)
…………..2分
同理,……..3分
则四边形是平行四边形.
又
四边形
是正方形. ……..4分
(2) 取中点
,连接
.
在梯形中,
且
.
又且
,
且
.……………………..5分
四边形
为平行四边形, ……………………..6分
. ……………………..7分
在梯形中,
, ……………………..9分
四点共面. …………………….10分
(3)同(1)中证明方法知四边形BFGC为平行四边形.
且有,从而
,
. ……………………..12分
又故
,而
,
故四边形BFGC为菱形, . ……………………..14分
又由知
.
正方形中,
,故
.
. ……………………..16分
略
(本题满分12分)
如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱ABCD—,经平面AEFG所截后得到的图形.其中∠BAE=∠GAD=45°。AB=2AD=2.∠BAD=60。.
(I)求证:BD⊥平面ADG;
(Ⅱ)求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.
正确答案
(Ⅰ)证明:在△BAD中,AB=2AD=2,∠BAD=60°,
由余弦定理得,BD=
AD⊥BD ----------------------------(2分)
又GD⊥平面ABCD
∴GD⊥BD,
GDAD=D,
∴BD⊥平面ADG……………………4分
(Ⅱ)解:以D为坐标原点,OA为x轴,OB为y轴,OG为z轴建立空间直角坐标系D—xyz
则有A(1,0,0),B(0,,0),G(0,0,1),E(0,
)
-------------------------------(6分)
设平面AEFG法向量为
则
取 --------------------------------(9分)
平面ABCD的一个法向量 -------------------------(10分)
设面ABFG与面ABCD所成锐二面角为,
则 ---------------------------------------(12
略
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