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题型:简答题
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简答题

(满分12分)设底面边长为的正四棱柱中,与平面 所成角为;点是棱上一点.

(1)求证:正四棱柱是正方体;

(2)若点在棱上滑动,求点到平面距离的最大值;

(3)在(2)的条件下,求二面角的大小.

正确答案

(1).证明:见解析;(2)点到平面的最大距离是;(3).

本试题主要考查了立体几何中正方体概念,和点到面的距离的最值和二面角的求解和运算的综合试题。

(1)利用正四棱柱的性质,加上题目中的边的关系,结合概念得到。

(2)对于点到面的距离关键是找到平面的垂线,利用面面垂直的性质定理得到点到面的距离的表示,从而求解最值。

(3)建立合理的空间直角坐标系,然后设出法向量来表示二面角的平面角的大小来解决。

(1).证明:设正四棱柱的侧棱长为,作,连接,

,,

所成的角,

,即

所以四棱柱正四棱柱是正方体;......................4'

(2).设点到平面的距离为平面到平面的距离相等为.在四面体中,体积

,设中点,当也是棱中点时,,有平面是一面直线的公垂线段,到直线的最短距离,的最小值是

,即点到平面的最大距离是.....................8'

(3).以为原点,分别为轴建立平面直角坐标系,由(2)知也是棱中点,则,设平面的法向量,平面的法向量

面角的大小是.............................12'

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题型:简答题
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简答题

正△的边长为4,边上的高,分别是边的中点,现将△沿翻折成直二面角

(1)试判断直线与平面的位置关系,并说明理由;

(2)求平面BDC与平面DEF的夹角的余弦值;

(3)在线段上是否存在一点,使?证明你的结论.

                         

正确答案

解:(I)如图:在△ABC中,

EF分别是ACBC中点,

EF//AB

AB平面DEFEF平面DEF.         

AB∥平面DEF.              ………………5分

(Ⅱ)以点D为坐标原点,直线DB、DC为x轴、y轴,建立空间直角坐标系,

则A(0,0,2)B(2,0,0)C(0,

平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为

 即

所以平面BDC与平面DEF夹角的余弦值为 

(Ⅲ)在平面坐标系xDy中,直线BC的方程为

所以在线段BC上存在点P,使AP⊥DE  

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简答题

已知多面体中,平面, 分别为的中点.

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)求三棱锥的体积.

正确答案

(II)

解:(I)∵平面  

平面   ∴

分别为的中点.

 ∴

是等边三角形  ∴

                          …………………6分

(II) ∵是等边三角形

  ∴是三棱锥的高

 …………12分

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简答题

(本题满分14分)

如图,己知中,

 

(1)求证:不论为何值,总有

(2)若求三棱锥的体积.

正确答案

(1)证明:因为AB⊥平面BCD,所以AB⊥CD,

又在△BCD中,∠BCD = 900,所以,BC⊥CD,又AB∩BC=B,

所以,CD⊥平面ABC,                       …………3分

又在△ACD,E、F分别是AC、AD上的动点,

   

所以,不论为何值,EF//CD,总有EF⊥平面ABC:  ………7分

(2)解:在△BCD中,∠BCD = 900,BC=CD=1,所以,BD=,

又AB⊥平面BCD,所以,AB⊥BD,

又在Rt△ABD中,∴AB=BDtan。 ………………10分

由(1)知EF⊥平面ABE,

所以,三棱锥A-BCD的体积是                 ………………14分

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简答题

本小题满分14分)如图,四棱锥E—ABCD中,ABCD是矩形,平面EAB平面ABCD,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,

且BF平面ACE.

(1)求证:AEBE;

(2)求三棱锥D—AEC的体积;

(3)求二面角A—CD—E的余弦值.

正确答案

解:(1)ABCD是矩形,BCAB,平面EAB平面ABCD,

平面EAB平面ABCD=AB,BC平面ABCD,BC平面EAB,

EA平面EAB,BCEA ,BF平面ACE,EA平面ACE,BF EA, BC BF=B,BC平面EBC,BF平面EBC,EA平面EBC ,BE平面EBC, EA BE。 

(2) EA BE,AB=

 ,设O为AB的中点,连结EO

∵AE=EB=2,EOAB,平面EAB平面ABCD,EO平面ABCD,即EO为三棱锥E—ADC的高,且EO=

(3)以O为原点,分别以OE、OB所在直线为,如图建立空间直角坐标系,则 ,由(2)知是平面ACD的一个法向量,设平面ECD的法向量为,则,即,令,则,所以,设二面角A—CD—E的平面角的大小为,由图得 

所以二面角A—CD—E的余弦值为

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简答题

(本小题满分12分)

如图,在正三棱柱ABC—A1B1C1中,BB1=2,BC=2,D为B1C1的中点。

(Ⅰ)证明:B1C⊥面A1BD

(Ⅱ)求二面角B—AC—B1的大小。

正确答案

方法一:

(Ⅰ)证明:在Rt△BB1D和Rt△B1C1C中,

BB1D∽△B1C1C,∠B1DB=∠B1CC1

又 ∠CB1D+∠B1CC1=90°

故 ∠CB1D+∠B1DB=90°

故 B1C⊥BD.·····················3分

又 正三棱柱ABC—A1B1C1,D为B1C1的中点。

A1D⊥平面B1C

A1DB1C

A1DB1D=D

所以 B1C⊥面A1BD。···················································6分

(Ⅱ)解:设E为AC的中点,连接BE.B1E。

在正三棱柱ABC—A1B1C1中,B1C=B1A,∴B1EACBEAC

即 ∠BEB1为二面角B—AC—B1的平面角·································9分

所以 二面角的大小为······································12分

方法二:

(Ⅰ)证明:设BC的中点为O,如图建立空间直角坐标系O—xyz

依题意有

故 

又 

所以

又 BDBA1=B

所以 B1C⊥面A1BD

(Ⅱ)依题意有

⊥平面ACB1⊥平面ABC

求得

所以 二面角的大小为

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题型:简答题
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简答题

.(12分)如图,在四棱台ABCDA1B1C1D1中,下底ABCD是边长为2的正方形,上底A1B1C1D1是边长为1的正方形,侧棱DD1⊥平面ABCDDD1=2.

(1)求证:B1B∥平面D1AC

(2)求证:平面D1AC⊥平面B1BDD1.

正确答案

证明: (1)设ACBDE,连结D1E

∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1.

B1D1BE,∵B1D1BE

∴四边形B1D1EB是平行四边形,

所以B1BD1E.

又因为B1B⊄平面D1ACD1E⊂平面D1AC

所以B1B∥平面D1AC   ---------------------------------------6分

(2)证明:侧棱DD1⊥平面ABCDAC⊂平面ABCD

ACDD1.

∵下底ABCD是正方形,ACBD.

DD1DB是平面B1BDD1内的两条相交直线,

AC⊥平面B1BDD1

AC⊂平面D1AC,∴平面D1AC⊥平面B1BDD1.---------------------12分

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简答题

(本小题满分12分)如图所示,已知中,AB=2OB=4,D为AB的中点,若绕直线AO旋转而成的,记二面角B—AO—C的大小为(I)若,求证:平面平面AOB;(II)若时,求二面角C—OD—B的余弦值的最小值。

正确答案

解法一:(I)如图所示,以O为原点,在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴,

OB,OA所在的直线分别为y轴,z轴建立空间直角坐标系O-xyz,

   

则A(0,0,2),B(0,2,0),D(0,1,),C(2sinθ,2cosθ,0).

=(x,y,z)为平面COD的一个法向量,

,得,……3分

取z=sinθ,则=(cosθ,-sinθ,sinθ)=(0,-,1)

因为平面AOB的一个法向量为=(1,0,0),得·=0,

因此平面COD⊥平面AOB.                  ……6分

(II)设二面角C-OD-B的大小为α,由(1)得

当θ=时,cosα=0;当θ∈(]时,tanθ≤-

cosα==-,……10分

故-≤cosα<0.因此cosα的最小值为-

综上,二面角C-OD-B的余弦值的最小值为-.                 ……12分

解法二:(I)因为AO⊥OB,二面角B-AO-C为,                 ……3分

所以OB⊥OC,又OC⊥OA,所以OC⊥平面AOB                                                                              

所以平面AOB⊥平面CO                                   D.                                 ……6分

(II)当θ=时,二面角C-OD-B的余弦值为0;……7分

当θ∈(]时,过B作OD的垂线,垂足为E,

过C作OB的垂线,垂足为F,过F作OD的垂线,垂足为G,连结CG,

则∠CGF的补角为二面角C-OD-B的平面角.

在Rt△OCF中,CF=2sinθ,OF=-2cosθ,

在Rt△CGF中,GF=OFsin=-cosθ,CG=

所以cos∠CGF==-.因为θ∈(],tanθ≤-,故0<cos∠CGF=.所以二面角C-OD-B的余弦值的最小值为-.                                        ……12分

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简答题

(本小题满分12分)

如图,三棱柱的底面是边长为2的正三角形,且平面是侧棱的中点,直线与侧面所成的角为45°.

(Ⅰ)求二面角的余弦值;

(Ⅱ)求点到平面的距离.

正确答案

解 法一:(1)如图,建立空间直角坐标系

.设为平面法向量.

 得.       

又平面的一个法向量

 

.  

结合图形可知,二面角的余弦值为.     

(Ⅲ)由(Ⅱ)知

∴点到平面的距离

法二:(略)

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简答题

(本小题共12分)

在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1=1,AB=2,AC=1,,D为BC的中点。

(I)求证:平面ACC1A1⊥平面BCC1B;

(II)求直线DA1与平面BCC1B1所成角的大小;

(III)求二面角A—DC1—C的大小。

正确答案

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