热门试卷

（1）见解析   （2）    （３）-arctan

（1）如图所示，取B1C1中点D，连结ND、A1D

∴DN∥BB1∥AA1

又DN＝

∴四边形A1MND为平行四边形。

∴MN∥A1 D 又 MN 平面A1B1C1  AD1平面A1B1C1

∴MN∥平面--------------------------4分

(2)因三棱柱为直三棱柱，∴C1 C⊥BC，又∠ACB=90°

∴BC⊥平面A1MC1

在平面ACC1 A1中，过C1作C1H⊥CM，又BC⊥C1H，故C1H为C1点到

平面BMC的距离。

在等腰三角形CMC1中，C1 C=2,CM=C1M=

∴.--------------------------8分

(3)在平面ACC1A1上作CE⊥C1M交C1M于点E，A1C1于点F,则CE为BE在

平面ACC1A1上的射影，

∴BE⊥C1M, ∴∠BEF为二面角B-C1M-A的平面角,

在等腰三角形CMC1中，CE=C1H=,∴tan∠BEC=

∴∠BEC=arctan,∴∠BEF=-arctan

即二面角的大小为-arctan。--------------12分

（1）（2）见解析

(Ⅰ)由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，

侧棱PC⊥底面ABCD，且PC="2." ---------------------------------3分

∴----------------------------7分

（Ⅱ）不论点E在何位置，都有BD⊥AE---------------------------------------8分

证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形       ∴BD⊥AC

∵PC⊥底面ABCD 且平面　∴BD⊥PC-----------11分

又∵∴BD⊥平面PAC　

∵不论点E在何位置，都有AE平面PAC 

∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE ----------------------------------------------14分

（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

证明：（1）连结AC，则AC⊥BD。

∵PA⊥平面ABCD，AC是斜线PC在平面ABCD上的射影，

∴由三垂线定理得PC⊥BD。………………4分

（2）取PC的中点K，连结FK、EK，则四边形AEKF是平行四边形。

∴AF//EK，又EK平面PEC，AF平面PEC，∴AF//平面PEC。…………4分

（3）延长DA、CE交于M，过A作AH⊥CM于H，

连结PH，由于PA⊥平面ABCD，可得PH⊥CM。

∴∠PHA为所求二面角P—EC—D的平面角。………………10分

∵E为AB的中点，AE//CD，∴AM=AD=2，

在△AME中，∠MAE=120°，

由余弦定理得

………………14分

（1）证明见解析（2）

（1）证明：取AB中点H，连结GH，HE，∵E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点，∴GH∥AD∥EF，∴E，F，G，H四点共面,又H为AB中点，∴EH∥PB.又面EFG，PB面EFG，∴PB∥面EFG.………6分

（2）取BC的中点M，连结GM、AM、EM，则GM∥BD，

∴∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角.

在Rt△MAE中，，同理，

又，∴在MGE中，

，

故异面直线EG与BD所成的角为.………………12分

（2）（3）

（I）略（II）

（I）当时，底面为正方形，

又因为,面…………………………2分

又面

…………………………3分

（II）因为两两垂直，分别以它们所在直线为轴、轴、轴建立坐标系，如图所示，令，可得

则…………………4分

设，则

要使，只要

即………6分

由，此时。

所以边上有且只有一个点，使得时，

为的中点，且…………………………8分

设面的法向量

则即解得…………………………10分

取平面的法向量

则的大小与二面角的大小相等

所以

因此二面角的余弦值为…………………………12分