热门试卷

以DP为Z轴，以DA为Y轴，以DC为X轴建系

P(0,0,1)  A(1,0,0)  B(1,1,0)  C(0,1,0)   

（2）面BDE的法向量为,设面FDE的法向量为

 有 取

,即二面角F-DE-B的大小为。

略

I）由AC=1，AB=，BC=知AC2+AB2=BC2，

所以AC⊥AB。

因为ABC—A1B1C1是直三棱柱，面ABB1A1⊥面ABC，

所以AC⊥面ABB1A1。………………3分

由，知侧面ABB1A1是正方形，连结AB1，

所以A1B⊥AB1。

由三垂线定理得A1B⊥B1C。 ………………6分

（II）作BD⊥B1C，垂足为D，连结A1D。

由（I）知，A1B⊥B1C，则B1C⊥面A1BD，

于是B1C⊥A1D，

则∠A1DB为二面角

A1—B1C—B的平面角。………………8分

∴Rt△A1B1C≌Rt△B1BC，

故二面角A1—B1C—B的大小为………………12分

略

(1)略

(2)

解：①证明：取AD中点为O，连接PO，∵平面PAD⊥平面ABCD，

∴PO⊥平面ABCD

故以OA为轴

OP为轴建立空间直角坐标系（如图所示）……1分

设，

则，，，，

故可求得：，                     ……3分

∴，，

∵，

∴，  ∴平面

∴平面                 ……6分

②设平面的一个法向量为，则

 ，取    ……8分

为平面的一个法向量，                                   ……9分

故               ……11分

故平面与平面的夹角余弦值为                    ……12分

（Ⅰ）略

（Ⅱ）略

（Ⅲ）AQ=AP时，PC//QD，从而PC//平面BDQ ．  

（Ⅰ）证明：由等腰三角形PBC，得BE⊥PC

又DE垂直平分PC，∴DE⊥PC

∴PC⊥平面BDE，………… 4分

（Ⅱ）由（Ⅰ），有PC⊥BD

因为 PA⊥底面ABC ，所以PA⊥BD

BD⊥平面PAC，所以点Q是线段PA上任一点都有

BD⊥DQ   ………………………… 8分

（Ⅲ）解：不妨令PA=AB=1，有PB=BC= 

计算得AD=AC 所以点Q在线段PA的处，

即AQ=AP时，PC//QD，从而PC//平面BDQ ．  ……………………… 12分

略

（1）

（2）G是CC1的中点

(3) 故二面角的平面角是π－arctan 

（文）二面角的平面角的正切值为－

（1）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，则AE∥A1E1，∴∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角。设，则

中， 。

所以异面直线AE与A1C所成的角为。  ------------------4分

（2）.由（1）知，A1E1⊥B1C1,又因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱

⊥BCC1B1,又EG⊥A1C  CE1⊥EG.

∠=∠GEC ~

即得

所以G是CC1的中点             ---------------------------- --8分

（3）连结AG,设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q,连EP,EQ,则EP⊥AC.

又平面ABC⊥平面ACC1A1  EP⊥平面ACC1A1 

而PQ⊥AG  EQ⊥AG.∠PQE是二面角C-AG-E的平面角.

由EP=a,AP=a,PQ=,得

所以二面角C-AG-E的平面角是arctan，而所求二面角是二面角C-AG-E的补角，故二面角的平面角是π－arctan  ------------------------12分

（文）二面角的平面角的正切值为－。------------------------12分

(2) 60°    (3) ∠AOH=arcsin

法1: 如图所示(1)设A1B与AB1交于O点, 在△AB1C中, OD为其中位线,

∴OD∥B1C, ODÌ平面A1BD, B1CÌ平面A1BD, ∴B1C∥平面A1BD

(2) ∵D是AC的中点, △ABC为正三角形, ∴BD⊥AC, 三棱柱ABC－A1B1C1为正三棱柱, ∴ A1A⊥BD, ∴BD⊥平面A1AD, ∴BD⊥A1D, BD⊥AD, ∴∠A1DA为二面角A1－BD－A的平面角, A1A=, AD="1," tan∠A1DA= = , ∴∠A1DA=" 60°." ∴二面角A1－BD－A的平面角为60°.

(3)∵ BD⊥平面A1AD, BDÌ平面A1BD, ∴平面A1AD⊥平面A1BD, 过A作AH⊥A1D于H点,∴AH⊥平面A1BD, ∴∠AOH为直线AB1与平面A1BD所成角, 在Rt△A1AD中AH== = , AO= sin∠AOH= = = , ∠AOH=arcsin.

法2: (空间向量法)建坐标系如图, 则

A(1,0,0), D(0,0,0), B(0,, 0), A1(1, 0, ) B1(0, , ) , C(－1,0,0)

(1) ="(1," 0, ), =(0,, 0), ="(1," , ) , ∴ =+ , ∴、、共面, 又∵CB1Ì平面A1BD, ∴B1C∥平面A1BD

(2) 平面ABD的法向量设为="(0,0,1)," 平面A1BD的法向量为=(x,y,z),

∵ ,

∴ , y="0," 令z="1," 则x=－, ∴=(－,0,1) ,

=

∴ 二面角A1－BD－A的大小的60°.

(3) 直线AB1与平面A1BD所成角θ, 则=(－1, , ),平面A1BD的法向量为=(－,0,1) , sinθ= = = , ∴ θ=arcsin.

(1)

(2)

(3) 45°.

解：：如图，以B为原点建立空间直角坐标系，则，，……1分

(1)直三棱柱中，

平面的法向量，又，

设，则 …………4分

（2）设，则，

，∴  ，即

…………8分

（3）∵，则，设平面的法向量，则，取，…………10分

∵，∴，又，

∴平面的法向量，∴，

∴二面角为45°.      …………12分

（1）略

（2）略

（3）

解：（Ⅰ）证明：取AD中点E，连接ME，NE，

由已知M，N分别是PA，BC的中点， 

∴ME∥PD，NE∥CD

又ME，NE平面MNE，MENE=E，

所以，平面MNE∥平面PCD，又MN平面MNE

所以，MN∥平面PCD           ……………4分

（Ⅱ）因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥DA，PD⊥DC，

在矩形ABCD中，AD⊥DC，

如图，以D为坐标原点，射线DA，DC，DP分别为

轴、轴、轴正半轴建立空间直角坐标系.

则D（0，0，0），A（，0，0），

B（，1，0），（0，1，0）， P（0，0，）      

所以（，0，），，  

∵·=0，所以MC⊥BD        ……………8分

（Ⅲ）因为ME∥PD，所以ME⊥平面ABCD，ME⊥BD，又BD⊥MC，

所以BD⊥平面MCE, 所以CE⊥BD，又CE⊥PD，所以CE⊥平面PBD，

由已知，所以平面PBD的法向量

M为等腰直角三角形PAD斜边中点，所以DM⊥PA，

又CD⊥平面PAD，AB∥CD，所以AB⊥平面PAD，AB⊥DM，所以DM⊥平面PAB，

所以平面PAB的法向量（-，0，），设二面角A—PB—D的平面角为θ，

则.   所以，二面角A—PB—D的余弦值为.     ……………12分