热门试卷

(1)略

(2)

证明：（Ⅰ）∵,,,点为中点.

∴,,，∴.

又面,面，∴,

而,∴平面

∵平面，∴平面平面. 

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,

∴为二面角的平面角,即,

在中,,

,.

以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,

其中,,,,

,,设为平面的一个法向量,则

,∴即 

令,得平面的一个法向量,则,

又, ∴,

∴,

即.

(1)略

(2)

（1）略

（2）

方法一、传统几何

（1）MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ANCD，由直角三角形易得：AM=AN=MN=NC=MC=，E是MN中点，可得AE⊥MN，CE⊥MN，又AE∩EC=E从而MN⊥平面AEC；

（2）这里也有多种方法：

连接BD交AC与点O，底面是正方形得AC⊥BD，OE//MD推得OE⊥AC，得AC⊥平面MDBN，所以∠MON就是二面角M－AC－N的平面角，在矩形MDBN中根据长度可以求得cos∠MON=。

（亦可把二面角M－AC－N，拆成两个二面角M－AC－E和E－AC－N；或者抽取出正四面体MNAC，再求侧面与地面所成角；或者求平面ACN的垂线MB和平面ACM的垂线DN之间的夹角）

方法二、向量几何

MD⊥平面ABCDMD⊥DA，MD⊥DC，又底面ABCD为正方形DA⊥DC，故以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DM为z轴，如图建立空间直角坐标系。

则各点的坐标A（1，0,0），B（1,1,0），C（0，1,0），M（0,0,1），N（1,1,1），

E（，，1）                            ……3分

（1） ·=…=0MN⊥AE；

·=…=0MN⊥AC

又AC∩AE=E，故MN⊥平面AEC；      ………7分

（2）不妨设平面AMC的法向量为=（1，y，z），平面ANC的法向量为=（1，m，n） 则由⊥,⊥·=0,·=0,代入坐标解得=（1,1,1）---9分

由⊥,⊥·=0,·=0,代入坐标运算得=（1,1，－1）--11分

Cos<,>==                             -------12分

(1)略

(2)

(3)

（I）证明：四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，BB1//CC1，

又面ABB1A1，所以CC1//平面ABB1A1，              …………2分

ABCD是正方形，所以CD//AB，

又CD面ABB1A1，AB面ABB1A1，所以CD//平面ABB1A1，…………3分

所以平面CDD1C1//平面ABB1A1，

所以C1D//平面ABB1A1                                  …………4分

（II）解：ABCD是正方形，AD⊥CD

因为A1D⊥平面ABCD，

所以A1D⊥AD，A1D⊥CD，

如图，以D为原点建立空间直角坐标系D—xyz，           …………5分

在中，由已知可得

所以，

            …………6分

因为A1D⊥平面ABCD，

所以A1D⊥平面A1B1C1D1

A1D⊥B1D1。

又B1D1⊥A1C1，

所以B1D1⊥平面A1C1D，                                 …………7分

所以平面A1­C1D的一个法向量为n=（1，1，0）            …………8分

设与n所成的角为，

则                   

所以直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值为            …………9分

（III）解：平面A1C1A的法向量为 

则 所以  

令可得                           …………11分

则

所以二面角的余弦值为              …………12分

（I）证明略；

（II）

方法1：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，，

∴平面PAD，                                           …………（4分）

∵E、F为PA、PB的中点，

∴EF//AB，∴EF平面PAD；                                  …………（6分）

（II）解：过P作AD的垂线，垂足为O，

∵，则PO 平面ABCD．

取AO中点M，连OG，,EO,EM,

∵EF //AB//OG,

∴OG即为面EFG与面ABCD的交线…………（8分）

又EM//OP,则EM平面ABCD．且OGAO,

故OGEO ∴ 即为所求      …………（11分）

 ，EM＝ＯＭ＝１ 

∴tan＝故 ＝              

∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是  …………（14分）

方法2：（I）证明：过P作P O　AD于O，∵，

则PO 平面ABCD，连OG，以OG，OD，OP为x、y、z轴建立空间坐标系，………（2分）

∵PA＝PD　，∴，

得，

， 　　　　 …………（4分）

故，

∵，

∴EF　平面PAD；                        …………（6分）

（II）解：，

设平面EFG的一个法向量为 

则， ，   …………（11分）

平面ABCD的一个法向量为……（12分）

平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值是：

，锐二面角的大小是；             …………（14分）

（1）略

（2）略

（3）三棱锥C-BGF的体积为

解：（1）∵   又知四边形ABCD是矩形，故AD//BC

∴    故可知  ………….1分

∵  BF平面ACE  ∴ BF AE  …………………………………………2分

又

∴ AE平面BCE ………………………………………………………………4分

（2） 依题意，易知G为AC的中点

又∵  BF平面ACE  所以可知 BFEC， 又BE＝EC

∴ 可知F为CE的中点 ……………………………………………………………5分

故可知 GF//AE  ……………………………………………………………………6分

又可知

∴ AE//平面BFD……………………………………………………………………..8分

(3) 由（1）可知AE平面BCE，又AE//GF

∴ GF平面BCE……………………………………………………………………9分

又     所以GF的长为三棱锥G－BCF的高  GF＝.  ....10分

………………………………………………11分

∴

∴ 三棱锥C-BGF的体积为……………………………………………………..12分

（Ⅰ）（Ⅱ）

（1）解法一：连结AC，BD交于点O，连结EO.

∵四边形ABCD为正方形，∴AO=CO，又∵PE=EC，∴PA∥EO，

∴∠DEO为异面直线PA与DE所成的角……………………3分

∵面PCD⊥面ABCD，AD⊥CD，∴AD⊥面PCD，∴AD⊥PD.

在Rt△PAD中，PD=AD=a，则，

∴异面直线PA与DE的夹角为……………………6分

（2）取DC的中点M，AB的中点N，连PM、MN、PN.

∴D到面PAB的距离等于点M到

面PAB的距离.……7分

过M作MH⊥PN于H，

∵面PDC⊥面ABCD，PM⊥DC，

∴PM⊥面ABCD，∴PM⊥AB，

又∵AB⊥MN，PM∩MN=M，

∴AB⊥面PMN. ∴面PAB⊥面PMN，

∴MH⊥面PAB，

则MH就是点D到面PAB的距离.……10分

在

………………12分解法二：如图取DC的中点O，连PO，

∵△PDC为正三角形，∴PO⊥DC.

又∵面PDC⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD.

如图建立空间直角坐标系

则

.………………………………3分

（1）E为PC中点， ，

，

∴异面直线PA与DE所成的角为……………………6分

（2）可求，

设面PAB的一个法向量为，

  ①    . ②

由②得y=0，代入①得

令…………………………9分

则D到面PAB的距离d等于在n上射影的绝对值

即点D到面PAB的距离等于………………………………12分

解析：（1）……1分

取的中点，连∥

因为所以面………3分

从而………………………………5分

由（1）（2）可得面……………………6分

（2）作∥交于，如图，建立直角坐标系

……………………………………………8分

设平面的法向量为

………………………………………………10分

与面所成角的正弦值＜|=…………………………12分

略