热门试卷

（1）略；（2）；（3）

略

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）二面角的余弦值.

试题分析：（1）利用折叠后点在平面内的射影点在棱上得到平面，从而得到，再结合即可证明平面，进而证明；（2）由（1）中的结论平面并结合平面与平面垂直的判定定理即可证明平面平面；（3）先作，连接，利用（1）中的结论平面得到，于是得到平面，于是得到为二面角的平面角，然后在直角三角形中计算，进而确定二面角的余弦值；另一种方法是利用空间向量法计算二面角的余弦值.

试题解析：（1）在平面上的射影在上，平面，

又平面，，

又，，平面，

又平面，；

（2）四边形是矩形，，

由（1）知，，平面，

又平面，平面平面；

（3）平面，，在中，由，，得，，

过点作，垂足为点，连接，

由平面，，平面，，

为二面角的平面角，

又在和，，，；

另解：以点为坐标原点，以方向为轴，以方向为轴，以平行的方向为轴，建立空间直角坐标系，可知、、，得，，

设平面的法向量为，由，得，

而平面的法向量为，，

结合图象可知二面角的余弦值为.

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.

试题分析：（Ⅰ）先证明平面，再证明 ，再证明平面，从而证明；（Ⅱ）先作辅助线，在中找到，在直角梯形中，，所以，所以，即平面；（Ⅲ）把多面体的体积分成两部分：和.

试题解析：（Ⅰ）连结，∵是正方形，∴.

∵平面平面，，是两平面的交线，

∴平面.而平面，∴.

又∵，

∴平面.而平面，∴.          4分

（Ⅱ）作，，，是垂足.

在中，,.

在直角梯形中，.

∴,∴四边形是平行四边形，∴.

而平面，∴平面.           9分

（Ⅲ）.       13分

(Ⅰ) 证明见解析

(Ⅱ)

解法一：（Ⅰ）平面，平面．．

又，．

，，，即．

又．平面．

（Ⅱ）过作，垂足为，连接．

平面，是在平面上的射影，由三垂线定理知，

为二面角的平面角．

又，

，

，

又，，．

由得．

在中，，．

二面角的大小为．

解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，

则，，，，，

，，，

，．，，

又，平面．

（Ⅱ）设平面的法向量为，

则，，

又，，

解得

平面的法向量取为，

，．

二面角的大小为．

（I）证明见解析

（II）

（I）,,.    …3分

又，平面.  6分

（II）方法一：取AB中点M，连CM，过M作交BD于N，连CN. ，，

平面,平面, 平面平面.  ………8分

平面，.又，

平面，为二面角的平面角.…10分

 ，，，，

故二面角平面角的度数为.  …………12分

方法二：取AB中点M，连CM.∵AC＝AB＝1, ∴CM⊥AB.

又∵平面ABC⊥平面ABD，∴CM⊥平面ABD. 取BD中点H，∴MH∥AD.

∵AD⊥AB, ∴MH⊥AB.

分别以AB，MH，MC为x，y，z轴建立空间直角坐标系.   …………6分

得  ，. 8分

设平面BCD的法向量为,

∴.   10分

又∵平面ABD的法向量为， 

∴ 显然二面角为锐角，所以它的大小为.12分