- 空间几何体的结构
- 共7713题
已知矩形ABCD中，AB=2AD=4，E为CD的中点，沿AE将三角形AED折起，使DB=
如图，O，H分别为AE、AB中点．
（Ⅰ）求证：直线OH//面BDE；
（Ⅱ）求证：面ADE
正确答案
略
已知正四棱锥的高为4cm，一个侧面三角形的面积是15cm2，则该四棱锥的体积是______cm3．
正确答案
设正四棱锥的底面边长为a，斜高为h，
则依题意
解方程组得a=6
∴四棱锥的体积V=
故答案为 48
在棱长为2的正方体AC1中，对角线AC1在六个面上的射影长度总和为______．
正确答案
∵BD1是正方体的对角线，
∴它在每一个面上的投影都是面 的对角线，
∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，
∴面的对应角线的长度是2 
∴BD1在其六个面上的射影长的和是12
故答案为：12
用一个与正方体的各面都不平行的平面去截正方体，截得的截面是四边形的图形可能是下列选项中的 ______（把所有符合条件的图形序号填入）．①矩形②直角梯形③菱形④正方形
正确答案
画出截面图形如图显然①矩形③菱形：
正方形就是菱形；④正方形，都能作出；
可以画出梯形但不是②直角梯形；
故答案为：①③④
已知正三棱锥P-ABC的底面边长为4，侧棱长为8，E，F分别是PB，PC上的点，求△AEF的周长最小值．
正确答案
沿三棱锥P-ABC的侧棱PA剪开后再展开，如图，
原图中△AEF的周长最小，也就是展开图中的AA′，
在△PAB中，因为PA=PB=8，AB=4，
设∠APB=α，则cosα=
∠APA′=3α，
由cos3α=4cos3α-3cosα=4×(
在△APA′中，由余弦定理得：
AA′2=PA2+PA′2-2PA•PA′cos3α
=82+82-2×8×8×
=121．
所以，AA′=11．
所以，△AEF的周长最小值为11．
将一个球置于圆柱内，球与圆柱的上、下底面和侧面都相切，若球体积为V1，圆柱体积为V2，则V1：V2=______．
正确答案
设球的半径为：1，则圆柱的底面半径为1，高为2．
所以球的体积为：
圆柱的体积为：π×12×2=2π，
所以球体积为V1，圆柱体积为V2，则V1：V2=
故答案为：
（本小题12分）
图甲是一个几何体的表面展开图，图乙是棱长为
（Ⅰ）若沿图甲中的虚线将四个三角形折叠起来，使点
（Ⅱ）需要多少个（I）的几何体才能拼成一个图乙中的正方
（Ⅲ）在图乙中，点
正确答案
（Ⅰ）其体积是：
（Ⅱ）需要3个
它们分别是：四棱锥
（Ⅲ）见解析
本小题主要考查考生的空间想象能力，考查了对图形的观察、分析、想象的能力，以及线线、线面的位置关系和逻辑推理能力．满分12分。
（I）围成的是有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥． ……………2分
其体积是：
（Ⅱ）需要3个（I）的几何体才能拼成一个图乙中的正方体， …………………6分
它们分别是：四棱锥
（注：本题答案表达形式不唯一，考生以其它形式写出的三个四棱锥，只要能拼成图乙中的正方体，同样给分）
（Ⅲ）
在正方体中，
又
一单位正方体形积木，平放在桌面上，在其上放置5个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，则6个正方体暴露在外面部分的面积和为______．
正确答案
最下边正方体的侧面积为4×1=4
从下边数第二个正方体的侧面积为4×
从下边数第三个正方体的侧面积为4×
…
即相邻两个正方体中，上边一个正方体的侧面积为下边一个正方体的侧面积的一半．
各个正方体的侧面积组成一个以4首项，以
故Sn=
当n=6时
S6=
而除侧面外其它面的和为1，
故6个正方体暴露在外面部分的面积和为
故答案为：
如图已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD=60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN中点P的轨迹与直平行六面体的面所围成的几何体的体积为______．
正确答案
取AB的中点E连接DE，由题意知DE⊥AB，DE⊥CD
以DE所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立如图空间直角坐标系
设M（0，0，z），N（x，y，0），则P（
MN=
∴x2+y2+z2=4
∴
x
2
)2+(
y
2
)2+(
z
2
)2=1
∴OP2=1
即OP=1
∴点P的轨迹是以原点D为球心，以1为半径的球的一部分
又∵∠BAD=60°
∴∠ADC=120°
∴点P的轨迹是球的
∴几何体的体积为V=
故答案为：
设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题：
①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；
②若PA，PB，PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；
③若∠ABC=90°，H是AC的中点，则PA=PB=PC；
④若PA=PB=PC，则H是△ABC的外心，其中正确命题的命题是______．
正确答案
①若PA⊥BC，PB⊥AC，因为PH⊥底面ABC，所以AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，正确．
②若PA，PB，PC两两互相垂直，容易推出AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，正确．
③若∠ABC=90°，H是AC的中点，容易推出△PHA≌△PHB≌△PHC，则PA=PB=PC；正确．
设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题：
①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；
②若PA，PB，PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；
③若∠ABC=90°，H是AC的中点，则PA=PB=PC；
④若PA=PB=PC，易得AH=BH=CH，则H是△ABC的外心，正确．
故答案为：①②③④
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