热门试卷

(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)二面角的正切值为．

试题分析：（Ⅰ）连结BD，因为E是AD的中点是CＥ的中点，所以ＢＤ过点，这样只需证即可；（Ⅱ）求二面角的正切值，需找出平面角，注意到PA⊥平面ABCD，F是线段PB的中点，取的中点，则⊥平面ABCD，过作，垂足为，则即为二面角的平面角．

试题解析：（Ⅰ）证明：连结，因为E是AD的中点，是CＥ的中点，且ABCE为菱形，，，所以过点，且是的中点，在中，又因为是的中点，，又平面，平面 ；

（Ⅱ）取的中点，因为是的中点，，又因为平面，平面，过作，垂足为，连结，则即为二面角的平面角，

不妨令，则，有平面几何知识可知，，所以二面角的正切值为 ．

(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)

(Ⅰ) 在图1中,易得

连结,在中,由余弦定理可得

由翻折不变性可知,

所以,所以,

理可证, 又,所以平面.

(Ⅱ) 传统法:过作交的延长线于,连结,

因为平面,所以,

所以为二面角的平面角.

结合图1可知,为中点,故,从而

所以,所以二面角的平面角的余弦值为.

向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示,

则,,

所以,

设为平面的法向量,则

,即,解得,令,得

由(Ⅰ) 知,为平面的一个法向量,

所以,即二面角的平面角的余弦值为.

解决折叠问题，需注意一下两点：1.一定要关注“变量”和“不变量”在证明和计算中的应用:折叠时位于棱同侧的位置关系和数量关系不变;位于棱两侧的位置关系与数量关系变；2.折前折后的图形结合起来使用.如本题第一问，关键是由翻折不变性可知,借助勾股定理进行证明垂直关系；（2）利用三垂线定理法或者空间向量法求解二面角. 求二面角：关键是作出或找出其平面角，常用做法是利用三垂线定理定角法，先找到一个半平面的垂线，然后过垂足作二面角棱的垂线，再连接第三边，即可得到平面角。若考虑用向量来求：要求出二个面的法向量，然后转化为,要注意两个法向量的夹角与二面角可能相等也可能互补，要从图上判断一下二面角是锐二面角还是钝二面角，然后根据余弦值确定相等或互补即可。

【考点定位】考查折叠问题和二面角的求解，考查空间想象能力和计算能力.

18．解：

方法一、证明：（Ⅰ）∵正方体中，面，

又∴平面平面， ………………2分

∵时，为的中点，∴，

又∵平面平面，

∴平面，

又平面，∴平面平面．………4分

（Ⅱ）∵，为线段上的点，

∴三角形的面积为定值，即，

………………6分

又∵平面，∴点到平面的距离为定值，即， ………………8分

∴三棱锥的体积为定值，即．

也即无论为何值，三棱锥的体积恒为定值；………………………10分

（Ⅲ）∵由（Ⅰ）易知平面，

又平面，∴，             …………………………12分

即异面直线与所成的角为定值，从而其余弦值为．…………………13分

方法二、如图，以点为坐标原点，建立如图所示的坐标系．

（Ⅰ）当时，即点为线段的中点，则，又、

∴，，设平面的法向量为，……1分

则，即，令，解得，        …2分

又∵点为线段的中点，∴，∴平面，

∴平面的法向量为，           ……………3分

∵，

∴平面平面，           ………………………4分

（Ⅱ）略；

（Ⅲ）∵，∴，  …………………10分

又、、，

∴，，   ……………………………11分

∵   …………………………………12分

∴不管取值多少，都有，即异面直线与所成的角的余弦值为0.……13分

略

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）取中点H，先证明垂直于平面,进而证明平面；（Ⅱ）建立直角坐标系，构造向量,平面的法向量，利用公式求解.

试题解析：（Ⅰ）∵在矩形中，为的中点，

∴为等腰直角三角形，

∴,即.                （1分）

取中点H，连结，则，

在中，,

在中，又，

               （2分）

又                 （3分）

∴面，                   （4分）

而平面，                  （5分）

∴平面⊥平面.                 （6分）

（Ⅱ）解：分别以直线为x轴和y轴，O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，.

∴ （7分）

设平面的一个法向量为

由得

即令则，

取                       （9分）

设为直线与平面所成的角，

则               （11分）

即直线与平面所成角的正弦值为        （12分）

（Ⅰ）连接交于点，连接，得到∥，进一步可得∥平面.                          

（Ⅱ）。

试题分析：（Ⅰ）证明：在三棱柱中，

连接交于点，连接，则是的中点

在中，点是的中点，

所以∥，                   

又，，

所以∥平面.                          （5分）

（Ⅱ）在中，，，点是的中点

所以，又，是平面内的相交直线，

所以平面，可知.                （7分）

又，是平面内的相交直线，交点是D，

知平面. 平面

在三棱柱中，为线段上的点，

过分别作于点，于点，连接

由平面，，得

又，、是平面内的相交直线

所以平面，

是在平面内的射影，

是直线和平面所成的角.                （12分）

设，由得，

可得，

所以在中，, 解得 （14分）

点评：中档题，立体几何问题中，平行关系、垂直关系，角、距离、面积、体积等的计算，是常见题型，基本思路是将空间问题转化成为平面问题，利用平面几何知识加以解决。要注意遵循“一作，二证，三计算”。利用“向量法”，通过建立空间直角坐标系，往往能简化解题过程。

（I）证明如下（Ⅱ）存在

试题分析：证明：（1）由已知有面,

面，

连结，在正方形中，,面，

面,

且,

为平行四边行，,

,面

解：(2)分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

令,

,

令为平面的一个法向量，，

令，

，，

，或，

存在此时

点评：在立体几何中，常考的定理是：直线与平面垂直的判定定理、直线与平面平行的判定定理。当然，此类题目也经常要我们求出几何体的体积和表面积。

（I）

（II）连结AC、BD交于G，连结FG，

∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，∵BF⊥平面ACE，∴FG⊥AC，∠FGB为二面角B-AC-E的平面角，由（I）可知，AE⊥平面BCE，∴AE⊥EB，又AE=EB，AB=2，AE=BE=，

在直角三角形BCE中，CE=

在正方形中，BG=，在直角三角形BFG中，

∴二面角B-AC-E为

（III）由（II）可知，在正方形ABCD中，BG=DG，D到平面ACB的距离等于B到平面ACE的距离，BF⊥平面ACE，线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离，即为D到平面ACE的距离所以D到平面的距离为

另法：过点E作交AB于点O. OE=1.

∵二面角D—AB—E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD.

设D到平面ACE的距离为h， 

平面BCE， 

∴点D到平面ACE的距离为

解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz，如图.

面BCE，BE面BCE，，

在的中点，

 设平面AEC的一个法向量为，

则

解得

令得是平面AEC的一个法向量.

又平面BAC的一个法向量为，

∴二面角B—AC—E的大小为

（III）∵AD//z轴，AD=2，∴，

∴点D到平面ACE的距离

略

（1）证明：取的中点，连结．

∵为的中点，∴且．

∵平面，平面，

∴，∴． 

又，∴． …………3分

∴四边形为平行四边形，则．……………5分

∵平面，平面，∴平面．…………7分

（2）证明：∵为等边三角形，为的中点，∴…………9分

∵平面，，∴．……………10分

又，∴平面．……………………………12分

∵，∴平面．…………………………………13分

∵平面，∴平面平面．………………14分

略