热门试卷

解：（1）证明：连结，则是的中点，为的中点

故在△中， ，                           …………3分

且平面PAD，平面PAD，∴∥平面PAD       …………6分

（2）取的中点M,连结,,          …………8分

又平面⊥平面， 平面∩平面=,

,                                      ……………10分

         ……………14分

略

（Ⅰ）略

（Ⅱ）（i）异面直线与所成角的余弦值为

（ii）二面角的余弦值为

设，建立如图的空间坐标系，

，,

，．……………………………………2分

（Ⅰ），，

所以，  

平面，平面． ……………………………………4分

（Ⅱ）平面，，即

，，即．…………………6分

①，

，

所以异面直线与所成角的余弦值为……………………………10分

②平面和平面中，，

所以平面的一个法向量为；

平面的一个法向量为；……………………………………12分

，所以二面角的余弦值为…………………14分

证明：（I）因为ABCD为菱形，所以AB=BC

又∠ABC=60°，所以AB=BC=AC，   ………………1分

又M为BC中点，所以BC⊥AM  ………………2分

而PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PA⊥BC ………………4分

又PA∩AM=A，所以BC⊥平面AMN   ………………5分

（II）因为  ………………6分

又PA⊥底面ABCD，PA=2，所以AN=1

所以，三棱锥N—AMC的体积  ………………8分

  ………………9分

（III）存在 ………………10分

取PD中点E，连结NE，EC，AE，

因为N，E分别为PA，PD中点，所以………………11分

又在菱形ABCD中，  

所以NE，即MCEN是平行四边形  ………………12分

所以，NM//EC，

又EC平面ACE，NM平面ACE

所以MN//平面ACE， ………………13分

即在PD上存在一点E，使得NM//平面ACE，

此时

略

（1）（2）

方法一：（Ⅰ）取BC的中点N，连结MN.

由已知，PMCN，则MNPC，所以MN⊥平面ABC.                           

过点N作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连结MH，

由三垂线定理知，AC⊥MH.

所以∠MHN为二面角M－AC－B的平面角.                                     

连结AN，在△ACN中，由余弦定理，得.

由已知∠AMN＝60°，在Rt△ANM中，.                        

在Rt△CHN中，.                                      

在Rt△MNH中，.

故二面角M－AC－B的正切值是.                                         

（Ⅱ）因为四边形PCNM为正方形，MN⊥平面ABC，则

.         

方法二：（Ⅰ）在平面ABC内，过点C作CB的垂线，

按如图所示建立空间直角坐标系.                                     

设点，由已知可得，点，

，则.

因为直线AM与直线PC所成的角为60°，则

，即.

解得z0＝1，从而.                             

设平面MAC的一个法向量为n，则，即.

取，则n.                                                

又m＝(0，0，1)为平面ABC的一个法向量，设向量m与n的夹角为θ，则.

从而，.                                            

显然，二面角M－AC－B的平面角为锐角，故二面角M－AC－B的正切值是.  

（Ⅱ）因为a＝(1，0，0)为平面PCM的一个法向量，，则

点A到平面PCM的距离.                                     

又PC＝PM＝1，则.     

见解析

⑴是的交点，∴是中点，又是的中点，

∴中，，            

，∴，

又∵

∴平面                     

⑵平面平面，交线为，

∵，

∴平面，                  

∴，

又∵，

∴                   

见解析

解法一：（Ⅰ）由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，

     所以BC⊥平面ACC1A1.连结AC1，则BC⊥AC1.                          

     由已知，侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1.                             

     又，所以AC1⊥平面A1BC.

因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连结AB1，则点M是AB1的中点.

又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1.  故MN⊥平面A1BC.                                                         

     （Ⅱ）因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连结BD，则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成角.                            

       设AC＝BC＝CC1＝a，则，.                           

在Rt△BDC1中，sin∠C1BD＝，                                    

所以∠C1BD＝30º，故直线BC1和平面A1BC所成的角为30º.                   

解法二：（Ⅰ）据题意CA、CB、CC1两两垂直，以C为原点，

CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间

直角坐标系，如图设AC＝BC＝CC1＝a，则

，

， 

所以，，.

于是，，即MN⊥BA1，MN⊥CA1.

又，故MN⊥平面A1BC.

（Ⅱ）因为MN⊥平面A1BC，则为平面A1BC的法向量，又，

则，所以.

     故直线BC1和平面A1BC所成的角为30º.

（1）略（2）

解：（1）当时，在区间上是增函数，

当时，，，

函数在区间上是增函数，

综上得，函数在区间上是增函数.        ………………6分

(2)

令  ………………10分

设方程（*）的两个根为（*）式得，不妨设.

当时，为极小值，所以在[0，1]上的最大值只能为或；      ………10分

当时，由于在[0，1]上是单调递减函数，所以最大值为，

所以在[0，1]上的最大值只能为或，              ……12分

又已知在处取得最大值，所以

即.      …………14分

证明略

证明：

连结，设连结，是正方体 

是平行四边形

且                                        

又分别是的中点，且

是平行四边形                                        

面，面

面                                              4分

（2）面                        

又，                          

同理可证，                                         

又    面              8分

（3）设B1D1的中点为N,则AN⊥B1D1,MN⊥B1D1,则

（也可以通过定义证明二面角是直二面角）         12分

，取B1B的中点M，

（1）连AC、B1H，则EF//AC，

∵AC⊥BD，所以BD⊥EF。

∵B1B⊥平面ABCD，所以B1H⊥EF，

∴∠B1HB为二面角B1—EF—B的平面角。 ………………2分

在

故二面角B1—EF—B的正切值为 …………4分

      （2）在棱B1B上取中点M，连D1M、C1M。∵EF⊥平面B1BDD1，

所以EF⊥D1M。 …………6分

在正方形BB1C1C中，因为M、F分别为BB1、BC的中点，

∴B1F⊥C1M …………8分

又因为D1C1⊥平面BCC1B1，所以B1F⊥D1C1，

所以B1F⊥D1M，

∴D1M⊥平面EFB1 ………………10分

（3）设D1M与平面EFB1交于点N，则D1N为点D1到平面EFB1的距离。……11分

在Rt△MB1D1中， …………12分

故点D1到平面EFB1的距离为   ………………14分

解二：（1）在正方体中，以DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系

则

 ………………2分设平面EFB1的一个法向量为

故二面角B1—EF—B的正切值为 …………4分

（2）设

 ………………10分

（3）

∴点D1到平面EFB1的距离…………14分