热门试卷

（1）直观图如下：

该四棱锥底面为菱形，边长为2，其中角A为60度，顶点A在底面内的射影为底面菱形的中心，四棱锥高为1。………………4分

（2）如图所示建立空间直角坐标系：

显然A、B、P．

令，得：、．

显然，

当．

所以当时，面BDE。………………8分

分别令和为平面PBC和平面ABE的法向量，

由，得

由，得

可得：，

显然二面角平面角为钝角，得其余弦值为。

略

(1) 设，连结EO

∵ O、M分别是AC、EF的中点，

四边形ACEF为矩形························ 2分

∴ AM∥EO

∵ EO面BDE，AM面BDE

∴ AM∥面BDE·························· 4分

(2) 由已知有BD⊥面ACEF

∴ BD⊥AM···························· 5分

又，知四边形AOMF为正方形

∴ FO⊥AM···························· 6分

又

∴ AM⊥面BDF·························· 8分

(3) 令，作HG⊥DF于G，连结AG，由三垂线定理知AG⊥DF

∴ ∠AGH为所求的二面角的平面角················· 10分

易算得···················· 12分

∴

∴ 所求二面角的大小为60··················· 13分

解：

小题1: 、是异面直线，                              （1分）

法一（反证法）假设、共面为．

,,

,,．

,又

．

这与为梯形矛盾．故假设不成立．

即、是异面直线．                         （5分）

法二：在取一点M，使,又,

是平行四边形．

，

则确定平面,

与是异面直线．

小题2:法一:延长，相交于N，AE=2，AD=4，BC=6，

设

则△NDE中，，

，平面平面,

平面．

过E作于H，连结AH，

则．

是二面角的平面角，

则．                                 （8分）

,,

,

此时在△EFC中，

．   （10分）

又平面,

是直线与平面所成的角,

．   （12分）

即当直线与平面所成角为时，

二面角的大小为。

法二：，面面

平面．

又．

故可以以E为原点，为x轴，为轴，

为Z轴建立空间直角坐标系，

可求设．

则，，

得平面的法向量,

则有，

可取．

平面的法向量

．

．（8分）

此时，．

设与平面所成角为，

则．

即当直线AC与平面EFCD所成角的大小为时，

二面角的大小为．（12分）

略

（Ⅰ）见解析；(II) 。

运用三垂线定理证明线线垂直，第二问是告诉二面角求参数的值，这是二面角的逆向问题，仍然要作出二面角，求二面角才能解出参数。这题除了用传统的证法与求角的方法外，也可以应用空间向量来解决。

解：（Ⅰ）证发1：连接BD，由底面是正方形可得ACBD。

SD平面ＡＢＣＤ，BD是BE在平面ABCD上的射影，

由三垂线定理得ACBE.

(II)解法1：SD平面ABCD，ＣＤ平面ＡＢＣＤ， SDCD.

又底面ＡＢＣＤ是正方形， ＣDＡD，又ＳＤAD=D，CD平面SAD。

过点D在平面SAD内做DFAE于F，连接CF，则CFAE，

故CFD是二面角C-AE-D 的平面角，即CFD=60° 

在Rt△ADE中，AD=, DE= ， AE= 。

于是，DF=

在Rt△CDF中，由cot60°=

得，      即=3 解得。

（1）见解析；（2）

本试题主要考查了多面体的体积的求解以及线面垂直的判定定理的运用。

（1）要证明AB垂直于平面，则利用AB//CD，通过证明CD垂直于平面得到证明。

（2）对多面体的体积可知看作是四棱锥的体积，结合分割的思想转化为两个三棱锥的体积和，得到结论。

（1）证明：∵平面，平面，

∴．

在正方形中，，

∵，∴平面．

∵，

∴平面．………………7分

（2）解法1：在△中，，，

∴．

过点作于点，

∵平面，平面，

∴．

∵，

∴平面．

∵，

∴．

又正方形的面积，

∴ 

．

故所求凸多面体的体积为．………………14分

解法2：在△中，，，

∴．

连接，则凸多面体分割为三棱锥

和三棱锥．

由（1）知，．

∴．

又，平面，平面，

∴平面．

∴点到平面的距离为的长度．

∴．

∵平面，

∴．

∴．

故所求凸多面体的体积为．………………14分

（1）略（2）略

(1)证明本小题的关键是证明,,再证,问题得证.

(2)证明本小题的关键是证明：，进而关键是证明,从而说明其是矩形，又因为此四边形本身是菱形，所以所证四边形是正方形.问题得证

（1）证明：因为是菱形，所以

又，，所以            

因为，所以      …………………4分  

因为，所以

由，所以   ………………………8分

（2）证明：因为，

所以， ……………………………10分

又因为，所以， 

所以

所以四边形为正方形