- 空间几何体的结构
- 共7713题
圆锥的全面积为27πcm2，侧面展开图是一个半圆，
求：（1）圆锥母线与底面所成的角；
（2）圆锥的体积．
正确答案
（1）设圆锥的母线长为R，由于圆锥侧面展开图是一个半圆，所以圆锥的底面周长为πR，
∴圆锥底面半径r=
∴母线与底面所成的角为
（2）由 27π=
∴圆锥的高h=
∴圆锥的体积V=
已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为2
正确答案
正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2
所以正四棱锥的高为3，
则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=
∴二面角等于60°，
故答案为60°
如图（1），一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，
容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图（2））
有下列四个命题：
A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P
C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P
D．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满．
其中真命题的代号是：______（写出所有真命题的代号）．
正确答案
设图（1）水的高度h2几何体的高为h1
图（2）中水的体积为b2h1-b2h2=b2（h1-h2），
所以
对于B，当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，
又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过P点，故B正确．
对于C，假设C正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，
经计算得水的体积为
故选BD
四面体的4个顶点和6条棱的6个中点可以确定______条直线．
正确答案
四面体一共有4个顶点和6条棱的中点，从中任意取两个确定直线，有
当以同一条棱上的3个点中任意取两个点时，共有6×3种方法，它们表示的直线是一条直线，
这与上面45种取法中有6×3种是重复计算的，故必须排除掉，最后再补上6条棱所在的直线．
从而得出四面体的4个顶点和6条棱的6个中点可以确定 
故答案为：33．
侧面展开图是半径长为2cm、圆心角为
正确答案
设圆锥的底面半径为rcm，则
∵侧面展开图是半径长为2cm、圆心角为
∴弧长l=
∴
∴r=
∴圆锥的高为
∴圆锥的体积为
故答案为：
用长、宽分别是3π和π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面半径是 ______．
正确答案
若以长3π的边为底面周长，
则圆柱的底面周长3π=2πr
∴r=
若以长π的边为底面周长，
则圆柱的底面周长π=2πr
∴r=
故答案为：
对于四面体ABCD，下列命题正确的是（ ）（写出所有正确命题的编号）．
①相对棱AB与CD所在的直线异面；
②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；
④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；
⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。
正确答案
①④⑤
已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB=4。若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=（ ）。
正确答案
3
在一个容积为6的密封的透明正方体容器内装有液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不是三角形，那么液体体积的取值范围是（ ）。
正确答案
（1，5）
下面关于棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中的四个命题：
①与AD1成60°角的面对角线的条数是8条；
②直线AA1与平面A1BD所成角的余弦值是
③从8个顶点中取四个点可组成 10 个正三棱锥；
④点A1到直线BC1的距离是
其中真命题的编号是______．
正确答案
①与AD1成60°角的面对角线的条数是8条，由图形中可以看出除了其所在面以及平行的两个面外的四个表面中每个面的两条面对角线都与与AD1成60°角，恰有8条，故命题正确；
②直线AA1与平面A1BD所成角的余弦值是
③从8个顶点中取四个点可组成 10 个正三棱锥，由图形的结构知，以8个顶点为顶点，以此点出发的三条侧棱为侧棱可以 组成8个正三棱锥，由面对角线可以组成两个正四面体，共可以组成10个正三棱锥，故命题正确；
④点A1到直线BC1的距离是
综上知①③正确
故答案为：①③．
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