- 椭圆的参数方程
- 共106题
A.选修4-1:几何证明选讲
如图,圆O1与圆O2内切于点A,其半径分别为r1与r2(r1>r2 ).圆O1的弦AB交圆O2于点C ( O1不在AB上).求证:AB:AC为定值.
B.选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵,向量
.求向量
,使得A2
=
.
C.选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,求过椭圆(φ为参数)的右焦点,且与直线
(t为参数)平行的直线的普通方程.
D.选修4-5:不等式选讲(本小题满分10分)
解不等式:x+|2x-1|<3.
正确答案
解:A、如图:连接AO1并延长,交两圆于D,E,则O2在AD上,根据直径对的圆周角等于90°可得,∠ACE=∠ABD=90°,
∴EC∥DB,∴AB:AC=AD:AE=2r1:2r2=r1:r2 为定值.
B、A2=
=
,设向量
=
,由 A2
=
可得
=
,∴
,解得 x=-1,y=2,
∴向量=
.
C、椭圆(φ为参数)的普通方程为
+
=1,右焦点为(4,0),
直线(t为参数) 即 x-2 y+2=0,斜率等于
,故所求的直线方程为
y-0=(x-4),即 x-2 y-4=0.
D、原不等式可化为 ,或
,
解得 ≤x<
,或-2<x<
,故不等式的解集为 {x|-2<x<
}.
解析
解:A、如图:连接AO1并延长,交两圆于D,E,则O2在AD上,根据直径对的圆周角等于90°可得,∠ACE=∠ABD=90°,
∴EC∥DB,∴AB:AC=AD:AE=2r1:2r2=r1:r2 为定值.
B、A2=
=
,设向量
=
,由 A2
=
可得
=
,∴
,解得 x=-1,y=2,
∴向量=
.
C、椭圆(φ为参数)的普通方程为
+
=1,右焦点为(4,0),
直线(t为参数) 即 x-2 y+2=0,斜率等于
,故所求的直线方程为
y-0=(x-4),即 x-2 y-4=0.
D、原不等式可化为 ,或
,
解得 ≤x<
,或-2<x<
,故不等式的解集为 {x|-2<x<
}.
(1)在平面直角坐标系xOy中,判断曲线C:(θ为参数)与直线l:
(t为参数)是否有公共点,并证明你的结论.
(2)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:.
正确答案
(1)解:直线l的普通方程为x+2y-3=0. …(3分)
曲线C的普通方程为x2+4y2=4. …(3分)
由方程组得8y2-12y+5=0
因为△=-16<0,所以曲线C与直线l没有公共点. …(4分)
(2)证法一:因为a>0,b>0,a+b=1,
所以()[(2a+1)+(2b+1)]
=1+4+ …(5分)
≥5+2=9. …(3分)
而(2a+1)+(2b+1)=4,所以. …(2分)
证法二:因为a>0,b>0,由柯西不等式得
()[(2a+1)+(2b+1)]…(5分)
≥()2=(1+2)2=9. …(3分)
由a+b=1,得 (2a+1)+(2b+1)=4,
所以. …(2分)
解析
(1)解:直线l的普通方程为x+2y-3=0. …(3分)
曲线C的普通方程为x2+4y2=4. …(3分)
由方程组得8y2-12y+5=0
因为△=-16<0,所以曲线C与直线l没有公共点. …(4分)
(2)证法一:因为a>0,b>0,a+b=1,
所以()[(2a+1)+(2b+1)]
=1+4+ …(5分)
≥5+2=9. …(3分)
而(2a+1)+(2b+1)=4,所以. …(2分)
证法二:因为a>0,b>0,由柯西不等式得
()[(2a+1)+(2b+1)]…(5分)
≥()2=(1+2)2=9. …(3分)
由a+b=1,得 (2a+1)+(2b+1)=4,
所以. …(2分)
已知曲线C:3x2+4y2-6=0(y≥0).
(1)写出曲线C的参数方程;
(2)若动点P(x,y)在曲线C上,求z=x+2y的最大值与最小值.
正确答案
解:(1)3x2+4y2-6=0化成:
,
∴曲线C的参数方程为:(0≤θ≤π),
(2)设P的坐标为:(cosθ,
sinθ),0≤θ≤π,则:
x+2y=cosθ+
sinθ=2
sin(θ+
),
∵,
∴当θ=π时,z=x+2y取最小值是:-;
当θ=π时,z=x+2y取最大值是:2
.
解析
解:(1)3x2+4y2-6=0化成:
,
∴曲线C的参数方程为:(0≤θ≤π),
(2)设P的坐标为:(cosθ,
sinθ),0≤θ≤π,则:
x+2y=cosθ+
sinθ=2
sin(θ+
),
∵,
∴当θ=π时,z=x+2y取最小值是:-;
当θ=π时,z=x+2y取最大值是:2
.
设点P(x,y)在椭圆+
=1上移动,则x+y的最大值等于______.
正确答案
解析
解:化椭圆+
=1为参数方程
,
∴x+y=3cosθ+2sinθ=sin(θ+φ),其中tanφ=
,
∴x+y的最大值等于
故答案为:
已知x,y∈R+,4x2+9y2=36,则x+2y的最大值等于______.
正确答案
5
解析
解:∵x,y∈R+,4x2+9y2=36,
∴=1,为椭圆的方程
化为参数方程可得,其中θ∈(0,
),
∴x+2y=3cosθ+4sinθ=5sin(θ+φ),其中tanφ=
由三角函数可知当5sin(θ+φ)=1时,x+2y取最大值5
故答案为:5
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