- 感应电动势
- 共4433题
如图甲所示，一个足够长的“L”形金属导轨NMPQ固定在水平面内，MN、PQ两导轨间的宽度为L=0.50m．一根质量为m=0.50kg的均匀金属导体棒ab横跨在导轨上且接触良好．abMP恰好围成一个正方形．该轨道平面处在磁感强度大小可以调节的竖直向上的匀强磁场中．ab棒与导轨间的最大静摩擦力和滑动摩擦力均为fm=1.0N，ab棒的电阻为R=O.10Ω．其他各部分电阻均不计．开始时磁感强度B0=0.50T．
（1）若从某时刻（t=O）开始，调节磁感强度的大小使其以△B/△t=0.20T/s的变化率均匀增加．求经过多长时间ab棒开始滑动？此时通过ab棒的电流大小和方向如何？
（2）若保持磁感强度B0的大小不变．从t=0时刻开始，给ab棒施加一个水平向右的拉力，使它以a=4.0m/s2的加速度匀加速运动．推导出此拉力T的大小随时间变化的函数表达式．并在图乙所示的坐标图上作出拉力T随时间t变化的T-t图线．
正确答案
（1）当棒ab所受的安培力等于最大静摩擦力时，棒刚开始运动，则有
fm=F=ILB ①
B=B0+
根据法拉第电磁感应定律得：E=
I=
联立①～④解得 t=17.8s，
此时通过ab棒的电流大小为I=0.5A，由楞次定律判断可知，I的方向b→a．
（2）根据牛顿第二定律得：T-FA-f=ma
其中安培力FA=B0IL，I=
得FA=
∴T=
代入解得 T=（3+2.5t）N
作出T-t图象如图所示．
答：
（1）经过17.8s时间ab棒开始滑动，此时通过ab棒的电流大小为0.5A，方向b→a．
（2）拉力T的大小随时间变化的函数表达式为T=（3+2.5t）N，作出T-t图象如图所示．
如图所示，MN、PQ为间距L=0.5m足够长的平行导轨，NQ⊥MN．导轨平面与水平面间的夹角θ=37°，NQ间连接有一个R=5Ω的电阻．有一匀强磁场垂直于导轨平面，磁感强度为B0=1T．将一根质量为m=0.05kg的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上，且与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻均不计．现由静止释放金属棒，金属棒沿导轨向下运动过程中始终与NQ平行．已知金属棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.5，当金属棒滑行至cd处时已经达到稳定速度，cd距离NQ为s=1m．试解答以下问题：（g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）请定性说明金属棒在达到稳定速度前的加速度和速度各如何变化？
（2）当金属棒滑行至cd处时回路中的电流多大？
（3）金属棒达到的稳定速度是多大？
（4）若将金属棒滑行至cd处的时刻记作t=0，从此时刻起，让磁感强度逐渐减小，可使金属棒中不产生感应电流，则磁感强度B应怎样随时间t变化（写出B与t的关系式）？
正确答案
（1）在棒达到稳定速度前，金属棒的加速度逐渐减小，速度逐渐增大．
（2）棒做匀速直线运动时达到稳定速度时，此时棒所受的安培力 FA=B0IL
由平衡条件得 mgsinθ=FA+μmgcosθ
联立得 I=
（3）由E=B0Lv、I=
（4）当回路中的总磁通量不变时，金属棒中不产生感应电流．此时金属棒不受安培力，将沿导轨做匀加速运动．
由牛顿第二定律得 mgsinθ-μmgcosθ=ma
得棒的加速度为 a=g（sinθ-μcosθ）=10×（0.6-0.5×0.8）m/s2=2m/s2
则有 B0Ls=BL(s+vt+
得 B=
答：
（1）在达到稳定速度前，金属棒的加速度逐渐减小，速度逐渐增大．
（2）当金属棒滑行至cd处时回路中的电流为0.2A．
（3）金属棒达到的稳定速度是2m/s．
（4）磁感强度B随时间t变化的关系式为B=
如图所示，间距为L的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为θ，导轨光滑且电阻忽略不计．场强为B的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为d1，间距为d2．两根质量均为m、有效电阻均为R的导体棒a和b放在导轨上，并与导轨垂直． （设重力加速度为g）
（1）若a进入第2个磁场区域时，b以与a同样的速度进入第1个磁场区域，求b穿过第1个磁场区域过程中增加的动能△Ek．
（2）若a进入第2个磁场区域时，b恰好离开第1个磁场区域；此后a离开第2个磁场区域时，b 又恰好进入第2个磁场区域．且a．b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相．求b穿过第2个磁场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳热Q．
（3）对于第（2）问所述的运动情况，求a穿出第k个磁场区域时的速率v．
正确答案
（1）a和b不受安培力作用，由机械能守恒知△Ek=mgd1sinθ①
（2）设导体棒刚进入无磁场区域时的速度为v1，刚离开无磁场区域时的速度为v2，由能量守恒知
在磁场区域中，
在无磁场区域中 
解得 Q=mg（d1+d2）sinθ ④
（3）在无磁场区域，根据匀变速直线运动规律有 v2-v1=gtsinθ⑤
且平均速度 
有磁场区域，棒a受到合力 F=mgsinθ-BIl ⑦
感应电动势 ε=Blv ⑧
感应电流 I=
解得 F=mgsinθ-
根据牛顿第二定律得，F=ma=m
在t到t+△t时间内
则有mgsinθ
解得v1-v2=gtsinθ-
联立⑤⑥解得 v1=
由题意知v=v1=
答：（1）b穿过第1个磁场区域过程中增加的动能△Ek为mgd1sinθ．
（2）b穿过第2个磁场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳热Q为mg（d1+d2）sinθ．
（3）a穿出第k个磁场区域时的速率v为
涡流制动是磁悬浮列车在高速运行时进行制动的一种方式．某研究所制成如图所示的车和轨道模型来定量模拟磁悬浮列车的涡流制动过程．车厢下端安装有电磁铁系统，能在长为L1=0.6m，宽L2=0.2m的矩形区域内产生竖直方向的匀强磁场，磁感应强度可随车速的减小而自动增大（由车内速度传感器控制），但最大不超过B1=2T，将长大于L1，宽也为L2的单匝矩形线圈，间隔铺设在轨道正中央，其间隔也为L2，每个线圈的电阻为R1=0.1Ω，导线粗细忽略不计．在某次实验中，模型车速度为v0=20m/s时，启动电磁铁系统开始制动，车立即以加速度a1=2m/s2做匀减速直线运动，当磁感应强度增加到B1时就保持不变，直到模型车停止运动．已知模型车的总质量为m1=36kg，空气阻力不计．不考虑磁感应强度的变化引起的电磁感应现象以及线圈激发的磁场对电磁铁产生磁场的影响．
（1）试分析模型车制动的原理；
（2）电磁铁的磁感应强度达到最大时，模型车的速度为多大；
（3）模型车的制动距离为多大．
正确答案
（1）根据楞次定律可知，感应电流的磁场总要阻碍导体与磁体间的相对运动，则知磁场对矩形线圈有向右的作用力，故矩形线圈对电磁铁有向左的作用力，阻碍模型车的运动．
（2）假设电磁铁的磁感应强度达到最大时，模型车的速度为v1，则
E1=B1L1v1 ①
I1=
F1=B1I1L1 ③
又 F1=m1a1④
由①②③④式得
v1=
并代入数据得v1=5m/s⑤
（3）模型车做匀减速运动的位移为 x1=
此后 任一极小△t时间内，根据动量定理得 
两边求和得 Σ
代入数据 得 x2=12.5mx=x1+x2=106.25m
答：
（1）模型车制动的原理是矩形线圈对电磁铁有向左的作用力，阻碍模型车的运动；
（2）电磁铁的磁感应强度达到最大时，模型车的速度为5m/s；
（3）模型车的制动距离为是106.25m．
如图甲所示，空间存在竖直向下的磁感应强度为0.6T的匀强磁场，MN、PQ是相互平行的、处于同一水平面内的长直导轨（电阻不计），导轨间距为0.2m，连在导轨一端的电阻为R．导体棒ab的电阻为0.1Ω，质量为0.3kg，跨接在导轨上，与导轨间的动摩擦因数为0.1．从零时刻开始，通过一小型电动机对ab棒施加一个牵引力F，方向水平向左，使其从静止开始沿导轨做加速运动，此过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好．图乙是棒的速度--时间图象，其中OA段是直线，AC是曲线，DE是曲线图象的渐近线，小型电动机在10s末达到额定功率，此后功率保持不变．g取10m/s2．求：
（1）在0--18s内导体棒获得加速度的最大值；
（2）电阻R的阻值和小型电动机的额定功率；
（3）若已知0--10s内R上产生的热量为3.1J，则此过程中牵引力做的功为多少？
正确答案
（1）由图中可得：10s末的速度为v1=4m/s，t1=10s
导体棒在0-10s内的加速度为最大值，am=
（2）设小型电动机的额定功率为Pm
在A点：E1=BLv1 I1=
由牛顿第二定律：F1-μmg-BI1L=ma1
又 Pm=F1•v1
当棒达到最大速度vm=5m/s时，Em=BLvm Im=
由金属棒的平衡得：F2-μmg-BImL=0
又Pm=F2•vm
联立解得：Pm=2W，R=0.62Ω
（3）在0-10s内：t1=10s
通过的位移：s1=
导体棒产生的热量 Qr=
由能量守恒：WF=QR+Qr+μmg•s1+
代入得：此过程牵引力做的功WF=3.1+0.5+0.1×0.3×10×20+
答：
（1）在0--18s内导体棒获得加速度的最大值是0.4m/s2；
（2）电阻R的阻值是0.62Ω，小型电动机的额定功率是2W；
（3）若已知0--10s内R上产生的热量为3.1J，则此过程中牵引力做的功为12J．
如图所示，间距l=0.3m的平行金属导轨a1b1c1和a2b2c2分别固定在两个竖直面内，在水平面a1b1b2a2区域内和倾角θ=37°的斜面c1b1b2c2区域内分别有磁感应强度B1=0.4T、方向竖直向上和B2=1T、方向垂直于斜面向上的匀强磁场．电阻R=0.3Ω、质量m1=0.1kg、长为l的相同导体杆K、S、Q分别放置在导轨上，S杆的两端固定在b1、b2点，K、Q杆可沿导轨无摩擦滑动且始终接触良好．一端系于K杆中点的轻绳平行于导轨绕过轻质滑轮自然下垂，绳上穿有质量m2=0.05kg的小环．已知小环以a=6m/s2的加速度沿绳下滑，K杆保持静止，Q杆在垂直于杆且沿斜面向下的拉力F作用下匀速运动．不计导轨电阻和滑轮摩擦，绳不可伸长．取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求
（1）小环所受摩擦力的大小；
（2）Q杆所受拉力的瞬时功率．
正确答案
（1）设小环受到的摩擦力大小为Ff，由牛顿第二定律，有
m2g-Ff=m2a
代入数据得
Ff=0.2N；
（2）设通过K杆的电流为I1，K杆受力平衡，有
Ff=B1I1l
设回路中电流为I，总电阻为R总，有：
I=2I1
R总=
设Q杆下滑速度大小为v，产生的感应电动势为E，有
I=
E=B2lv
F+m1gsinθ=B2Il
拉力的瞬时功率为
P=Fv
联立以上方程，代入数据解得
Q杆受拉力的功率P=2W．
如图甲所示，间距为L=0.3m、足够长的固定光滑平行金属导轨MN、PQ与水平面成θ=30°角，左端M、P之间连接有电流传感器和阻值为R=0.4Ω的定值电阻．导轨上垂直停放一质量为m=0.1kg、电阻为r=0.20Ω的金属杆ab，且与导轨接触良好，整个装置处于磁感应强度方向垂直导轨平面向下、大小为B=0.50T的匀强磁场中．在t=0时刻，用一与导轨平面平行的外力F斜向上拉金属杆ab，使之从由静止开始沿导轨平面斜向上做直线运动，电流传感器将通过R的电流i即时采集并输入电脑，可获得电流i随时间t变化的关系图线，如图乙所示．电流传感器和导轨的电阻及空气阻力均忽略不计，重力加速度大小为g=10m/s2．
（1）求2s时刻杆ab的速度υ大小；
（2）试证明金属杆做匀加速直线运动，并计算加速度a的大小；
（3）求从静止开始在2秒内通过金属杆ab横截面的电量q；
（4）求2s时刻外力F的功率P．
正确答案
（1）设2s时刻的速度为v2，杆ab切割磁感线产生的感应电动势为：E=BLv2
根据闭合电路欧姆定律有：E=I（ R+r ）
由以上两式解得：v2=
（2）v=
因v与t是一次函数，故金属杆做匀加速直线运动．
其加速度大小：a=
（3）方法一：q=
方法二：由i-t图象可知：q=
（4）2s时刻的安培力：F安=BIL=
由牛顿第二定律得：F-F安-mgsinθ=ma
则此时的外力：F=F安+mgsinθ+ma=7.5×10-2N+0.1×10×0.5N+0.1×1N=0.675N
则功率：P=Fv=0.675×2W=1.35W
答：（1）2s时刻杆ab的速度υ大小为2m/s．
（2）加速度a的大小为1m/s2．
（3）从静止开始在2秒内通过金属杆ab横截面的电量q为0.5C．
（4）2s时刻外力F的功率P为1.35W．
如图所示，AB和CD是足够长的平行光滑导轨，其间距为L，导轨平面与水平面的夹角为θ．整个装置处在磁感应强度为B，方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，．AC端连有电阻值为R的电阻．若将一质量为M、电阻为r的金属棒EF垂直于导轨在距BD端s处由静止释放，在棒EF滑至底端前会有加速和匀速两个运动阶段．今用大小为F，方向沿斜面向上的恒力把棒EF从BD位置由静止推至距BD端s处，突然撤去恒力F，棒EF最后又回到BD端．（导轨的电阻不计）
（1）求棒EF下滑过程中的最大速度；
（2）求恒力F刚推棒EF时棒的加速度；
（3）棒EF自BD端出发又回到BD端的整个过程中，电阻R上有多少电能转化成了内能？
正确答案
（1）如图所示，当EF从距BD端s处由静止开始滑至BD的过程中，受力情况如图所示．安培力：F安=BIL=B•
根据牛顿第二定律：Mgsinθ-F安=Ma
当a=0时速度达到最大值vm，即：vm=
（2）根据牛顿第二定律：F-Mgsinθ=Ma
得 a=
（3）棒先向上减速至零，然后从静止加速下滑，在滑回BD之前已达最大速度vm开始匀速．
设EF棒由BD从静止出发到再返回BD过程中，转化成的内能为△E．根据能的转化与守恒定律：
Fs-△E=
△E=Fs-
△ER=
答：（1）棒EF下滑过程中的最大速度为
（2）恒力F刚推棒EF时棒的加速度为a=
（3）棒EF自BD端出发又回到BD端的整个过程中，电阻R上有
如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为l、足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为α，条形匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直．长度为2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“
”型装置，总质量为m，置于导轨上．导体棒中通以大小恒为I的电流（由外接恒流源产生，图中未画出）．线框的边长为d（d＜l），电阻为R，下边与磁场区域上边界重合．将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回，导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直．重力加速度为g．
求：（1）装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热Q；
（2）线框第一次穿越磁场区域所需的时间t1；
（3）经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离Χm．
正确答案
（1）设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中，作用在线框上的安培力做功为W
由动能定理 mgsinα•4d+W-BIld=0
且Q=-W
解得 Q=4mgdsinα-BIld
（2）设线框刚离开磁场下边界时的速度为v1，则接着向下运动2d
由动能定理得：mgsinα•2d-BIld=0-
装置在磁场中运动时收到的合力F=mgsinα-F′
感应电动势 E=Bdv
感应电流 I′=
安培力 F'=BI'd
由牛顿第二定律，在t到t+△t时间内，有△v=
则∑△v=∑[gsinα-
有v1=gt1sinα-
解得 t1=
（3）经过足够长时间后，线框在磁场下边界与最大距离xm之间往复运动
由动能定理 mgsinα•xm-BIl（xm-d）=0
解得 xm=
答：（1）装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热为4mgdsinα-BIld；（2）线框第一次穿越磁场区域所需的时间t1为
如图甲所示，电阻不计的光滑平行金属导轨相距L=0.5m，上端连接R=0.5Ω的电阻，下端连着电阻不计的金属卡环，导轨与水平面的夹角θ=300，导轨间虚线区域存在方向垂直导轨平面向上的磁场，其上、下边界之间的距离s=1Om，磁感应强 度B-t图如图乙所示．长为L且质量为m=0.5kg的金属棒ab的电阻不计，垂直导 轨放置于距离磁场上边界d=2.5m处，在t=O时刻由静止释放，棒与导轨始终接触良 好，滑至导轨底端被环卡住不动．g取10m/s2，求：
（1）棒运动到磁场上边界的时间；
（2）棒进人磁场时受到的安培力；
（3）在0-5s时间内电路中产生的焦耳热．
正确答案
（1）棒从静止释放到刚进磁场的过程中做匀加速运动，由牛顿第二定律得：
mgsinθ=ma
得：a=gsinθ=5m/s2由运动学公式：d=
（2）棒刚进磁场时的速度v=at=5m/s
由法拉第电磁感应定律：E=BLv
而 I=
得：安培力F安=
（3）因为F安=mgsinθ=2.5N，所以金属棒进入磁场后做匀速直线运动，运动至导轨底端的时间为：t1=
由图可知，棒被卡住1s后磁场才开始均匀变化，且
由法拉第电磁感应定律：E1=
所以在0-5s时间内电路中产生的焦耳热为：Q=Q1+Q2
而Q1=
所以Q=75J
答：（1）棒运动到磁场上边界的时间是1s；
（2）棒进人磁场时受到的安培力是2.5N；
（3）在0-5s时间内电路中产生的焦耳热是75J．
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