双曲线
共4042题

双曲线
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题型：简答题

简答题

已知中心在原点，顶点在轴上，离心率为的双曲线经过点

（I）求双曲线的方程；

(II)动直线经过的重心，与双曲线交于不同的两点，问是否存在直线使平分线段。试证明你的结论

正确答案

（I）设所求的双曲线方程为且双曲线经过点，所以

所求所求的双曲线方程为。

(II)由条件的坐标分别为，点坐标为

假设存在直线使平分线段设的坐标分别为

得

又即

的方程为由

消去整理得所求直线不存在。

同答案

题型：填空题

填空题

双曲线的两条渐近线的方程为．

正确答案

试题分析：求双曲线的渐进线方程可将等式右边的1换为0即可求出，所以有，即，即。

题型：填空题

填空题

点A为两曲线C1:+=1和C2:x2-=1在第二象限的交点,B、C为曲线C1的左、右焦点,线段BC上一点P满足:=+m(+),则实数m的值为　　　　.

正确答案

法一　∵A是曲线C1与C2在第二象限的交点如图所示.

∴由

得点A坐标为(-,2).

由+=1知c2=9-6=3,

∴B(-,0),C(,0),

∴=(0,2),=(0,-2),=(2,-2).

=2,

=4.

∴+m（+）=(0,2)+m=(0,2)+m（,-）=（m,2-m）.

设点P(x,0),则=(x+,0),

由题意得

解得

法二　由椭圆与双曲线方程可知,C1、C2有共同的焦点,即B、C.

由椭圆和双曲线定义有

解得

又|BC|=2,

∴△ABC为直角三角形,且∠BAC=60°.

又由=+m(+)得

-==m(+)(*)

由向量的线性运算易知,AP为∠BAC的平分线,

故cos∠BAP=,

即cos 30°=,

∴=.

将(*)式的两边平方得:

||2=m2(1+1+2cos 60°)=（）2,

解得m=或m=-(舍去).

题型：填空题

填空题

已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共

点，则满足上述条件的直线共有___________条

正确答案

略

题型：简答题

简答题

过双曲线C:的右焦点F作直线l与双曲线C交于P、Q两点，,求点M的轨迹方程．

正确答案

右焦点（2，0），设

得，，直线l的斜率

又，，两式相减得化简得，

把，，代入上式得

题型：简答题

简答题

已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件|PM|-|PN|=2．记动点P的轨迹为W．若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点．

（1）求W的方程；

（2）若AB的斜率为2，求证•为定值．

（3）求•的最小值．

正确答案

（1）据题意应为双曲线一支，

c=2，a=，

∴曲线方程为x2-y2=2（x≥）．（2分）

（2）设AB：y=2x+b，

将其代入x2-y2=2，得3x2+4bx+b2+2=0…（1）

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1，x2为（1）的两根．x1+x2=-，x1x2=，•=x1x2+y1y2=x1x2+(2x1+b)(2x2+b)=5x1x2+2b(x1+x2)+b2

=5•+2b•(-)+b2=，是定值．（8分）

（3）法一：当直线AB的斜率不存在时，

设直线AB的方程为x=x0，

此时A（x0，），B（x0，-），•=2

当直线AB的斜率存在时，

设直线AB的方程为y=kx+b，

代入双曲线方程-=1中，

得：（1-k2）x2-2kbx-b2-2=0

依题意可知方程1？有两个不相等的正数根，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

解得|k|＞1，

又•=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+b）（kx2+b）

=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2==2+＞2

综上可知•的最小值为2（14分）

法二：，A，B在右支，

故x1，x2＞0，

=x1x2+y1y2=•+y1y2

=+y1y2

≥+y1y2

=|y1y2|+2+y1y2≥2，y1=-y2时，“=”成立，

故•的最小值为2．

题型：填空题

填空题

过双曲线x2-y2=4的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是______．

正确答案

∵|PF2|-|PF1|=4，|QF2|-|QF1|=4

∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=7

∴|PF2|+|QF2|-7=8，

∴|PF2|+|QF2|=15，

∴△F1PQ的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=15+7=22，

故答案为：22．

题型：填空题

填空题

已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，则此双曲线的标准方程是 .

正确答案

试题分析：设双曲线的标准方程为：

由题意得：,,

,双曲线的标准方程为：

答案应填

题型：简答题

简答题

已知双曲线

（1）求以为中点的弦所在的直线的方程

（2）求过的弦的中点的轨迹方程

正确答案

（1）（2）

略

题型：填空题

填空题

已知双曲线（＞0，＞0）的左右焦点分别为是双曲线上的一点，且, 的面积为,则双曲线的离心率 _______．

正确答案

略

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