双曲线的定义
共1236题

· 双曲线的定义

双曲线的定义
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题型：填空题

填空题

以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆方程是 .

正确答案

略

题型：填空题

填空题

过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于P、Q两点，则|FP||FQ|的值为__________.

正确答案

代入得：

设

又

题型：简答题

简答题

已知中心在原点的双曲线的右焦点为，实轴长.

（1）求双曲线的方程

（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点，且为锐角(其中为原点)，求的取值范围.

正确答案

（1）；（2）.

试题分析：（1）依题意先设双曲线的方程为，依据题中条件得到、的值，进而由得到的值，进而写出双曲线的方程即可；（2）设，联立直线与双曲线的方程，消去得到，依题意得到，且，要使为锐角，只须即可，从而只须将进行坐标化并将代入，得到，结合、及即可得出的取值范围.

试题解析：（1）依题意可设双曲线的方程为

则有且，所以，

所以该双曲线的方程为

（2）

设

，即

综上：.

题型：填空题

填空题

已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是。

正确答案

解法1：因为在中，由正弦定理得，

则由已知，得，即，且知点P在双曲线的右支上，

设点由焦点半径公式，得，则，

解得，由双曲线的几何性质知，整理得

解得，故椭圆的离心率。

解法2 由解析1知由双曲线的定义知

，由椭圆的几何性质知所以以下同解析1。

题型：简答题

简答题

（理）已知平面内动点P（x，y）到定点F(，0)与定直线l：x=的距离之比是常数．

（ I）求动点P的轨迹C及其方程；

（ II）求过点Q（2，1）且与曲线C有且仅有一个公共点的直线方程．

正确答案

（ I）∵＞1，

∴轨迹C为以F为右焦点，l为右准线的双曲线．

设双曲线C方程为-=1(a＞0，b＞0)，则，

∴a2=4．

∴b2=c2-a2=5-4=1．

∴双曲线方程为-y2=1．

（Ⅱ）（1）若所求直线斜率不存在时，直线x=2满足题意．

（2）若所求直线斜率存在时，设所求直线方程为y-1=k（x-2），

代入曲线方程-y2=1，得：-(kx-2k+1)2=1，

化简得：（1-4k2）x2+8k（2k-1）x-4（2k-1）2-4=0，

①当（1-4k2）=0时，即k=±时，

∵（2，1）在渐近线y=x上，∴k=时不适合，舍去.k=-时，直线平行于渐近线y=-x，满足题意，

故所求直线方程为y=-(x-2)+1，即y=-x+2．

②当（1-4k2）≠0时，由△=64k2（2k-1）2-16（4k2-1）（4k2-4k+2）=0，

得k=（舍去），综上所述，所求直线方程为x=2，y=-x+2．

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