- 函数的单调性与导数的关系
- 共10564题
已知函数f（x）=
（1）若函数f（x）在x=2处取得极值，求m的值；
（2）当m=-2时，讨论函数f（x）+x的单调性；
（3）在（2）的条件下，求证，对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，有
正确答案
解：（1）∵函数 f（x）在x=2处有极值∴f′（2）=2-
∴m=-2，经检验m=-2符合题意．∴m=-2．
（2）当m=-2时，函数f（x）=
令函数g（x）=f（x）+x，则
g′（x）=x+
∴g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上为增函数．
（3）由（2）知g（x）在（0，+∞）为增函数．
∴对任意0＜x1＜x2，都有g（x1）＜g（x2）成立，
即f（x1）+x1＜f（x2）+x2．
即f（x1）-f（x2）＞x1-x2．
又∵x1-x2＜0，
∴
解析
解：（1）∵函数 f（x）在x=2处有极值∴f′（2）=2-
∴m=-2，经检验m=-2符合题意．∴m=-2．
（2）当m=-2时，函数f（x）=
令函数g（x）=f（x）+x，则
g′（x）=x+
∴g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上为增函数．
（3）由（2）知g（x）在（0，+∞）为增函数．
∴对任意0＜x1＜x2，都有g（x1）＜g（x2）成立，
即f（x1）+x1＜f（x2）+x2．
即f（x1）-f（x2）＞x1-x2．
又∵x1-x2＜0，
∴
若函数f（x）=x3+a|x2-1|，a∈R，则对于不同的实数a，则函数f（x）的单调区间个数不可能是（ ）
正确答案
解析
解：依题意：（1）当a=0时，f（x）=x3，在（-∞，+∞）上为增函数，有一个单调区间 ①
当a≠0时，∵f（x）=x3+a|x2-1|a∈R
∴f（x）=
∴f′（x）=
（2）当0＜a＜
∴x∈（-∞，0]时，f′（x）＞0，x∈（0，m）时，f′（x）＜0，x∈[m，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在x∈（-∞，0]时，单调递增，x∈（0，m）时，单调递减，x∈[m，+∞）时，单调递增，有3个单调区间 ②
（3）当a≥3时，∵-
∴x∈（-∞，n]时，f′（x）＞0，x∈（n，-1]时，f′（x）＜0，x∈（-1，0）时，f′（x）＞0，x∈[0，1）时，f′（x）＜0，x∈[1，+∞）时，f′（x）＞0
∴函数f（x）在x∈（-∞，n]时，单调递增，x∈（n，-1]时，单调递减，x∈（-1，0）时，单调递增，x∈[0，1）时，单调递减，x∈[1，+∞）时，单调递增，
有5个单调区间 ③
由①②③排除A、C、D，
故选B
已知实数a，b是常数，f（x）=（x+a）2-7blnx+1．
（Ⅰ）若b=1时，f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，求a的取值范围．；
（Ⅱ）当b=
（Ⅲ）设n是正整数，证明：ln（n+1）7＜（1+
正确答案
解（Ⅰ）∵b=1，故f（x）=（x+a）2-7lnx+1，
∴
∵当x＞1时，f（x）是增函数，
∴
即
∵当x＞1时，
∴当x＞1时，
∴a≥
（II）∵
∴
∴当a=0时，f（x）的增区间为（0，+∞）
当a＞0时，∴f‘（x）＞0⇒x＞a或x＜-2a，
∴f（x）的减区间为（0，a），增区间为（a，+∞）
当a＜0时，∴f'（x）＞0⇒x＞-2a或x＜a，
∴f（x）的减区间为（0，-2a），增区间为（-2a，+∞）；
（Ⅲ） 由（Ⅰ）知，
当
∴当x＞1时，f（x）＞f（1），
即
∴x2+5x-6＞7lnx
∵n∈N*，∴
∴
即
∴
7[ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln（n+1）-lnn]
=7ln（n+1），
∴
解析
解（Ⅰ）∵b=1，故f（x）=（x+a）2-7lnx+1，
∴
∵当x＞1时，f（x）是增函数，
∴
即
∵当x＞1时，
∴当x＞1时，
∴a≥
（II）∵
∴
∴当a=0时，f（x）的增区间为（0，+∞）
当a＞0时，∴f‘（x）＞0⇒x＞a或x＜-2a，
∴f（x）的减区间为（0，a），增区间为（a，+∞）
当a＜0时，∴f'（x）＞0⇒x＞-2a或x＜a，
∴f（x）的减区间为（0，-2a），增区间为（-2a，+∞）；
（Ⅲ） 由（Ⅰ）知，
当
∴当x＞1时，f（x）＞f（1），
即
∴x2+5x-6＞7lnx
∵n∈N*，∴
∴
即
∴
7[ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln（n+1）-lnn]
=7ln（n+1），
∴
设函数f（x）的定义域为R．若存在与x无关的正常数M，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为有界泛函．在函数：
①f（x）=-3x，
②f（x）=x2，
③f（x）=sin2x，
④f（x）=2x，
⑤f（x）=xcosx
中，属于有界泛函的有______．（填上所有正确的番号）
正确答案
①③⑤
解析
解：①∵|f（x）|=3|x|，要使3|x|≤M|x|对于任意实数x都成立，只要M≥3即可，因此f（x）为有界泛函．
②∵|f（x）|=x2，要使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，即x2≤M|x|，当x≠0时，即|x|≤M，因此不存在与x无关的正常数M，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，因此f（x）不为有界泛函；
③∵|f（x）|=sin2x≤|sinx|≤|x|，要使|x|≤M|x|对一切实数x均成立，只要M≥1即可，因此f（x）为有界泛函．
④∵|f（x）|=2x，当x=0时，|f（0）|=1＞M•0=0，因此不存在与x无关的正常数M，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，因此f（x）不为有界泛函；
⑤∵|f（x）|=|xcosx|≤|x|，∴要使|x|≤M|x|对于任意实数x都成立，只要M≥1即可，因此f（x）为有界泛函．
已知函数f（x）=（x-1）2-aln|x-1|（a∈R，a≠0）．
（Ⅰ）当a=8时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[e+1，e2+1]上的最小值．
正确答案
解：（Ⅰ）
（1）当x＞1时，f（x）=（x-1）2-8ln（x-1），
由f‘（x）＞0得2（x-1）2-8＞0，解得x＞3或x＜-1．
注意到x＞1，所以函数f（x）的单调递增区间是（3，+∞）．
由f'（x）＜0得2（x-1）2-8＜0，解得-1＜x＜3，
注意到x＞1，所以函数f（x）的单调递减区间是（1，3）．
（2）当x＜1时，f（x）=（x-1）2-8ln（1-x），
由f'（x）＞0得2（x-1）2-8＜0，解得-1＜x＜3，
注意到x＜1，所以函数f（x）的单调递增区间是（-1，1）．
由f'（x）＜0得2（x-1）2-8＞0，解得x＞3或x＜-1，
由x＜1，所以函数f（x）的单调递减区间是（-∞，-1）．
综上所述，函数f（x）的单调递增区间是（-1，1），（3，+∞）；
单调递减区间是（-∞，-1），（1，3）．（5分）
（Ⅱ）当x∈[e+1，e2+1]时，f（x）=（x-1）2-aln（x-1），
所以
设g（x）=2x2-4x+2-a．
（1）当a＜0时，有△＜0，此时g（x）＞0，所以f'（x）＞0，f（x）在[e+1，e2+1]上单调递增．
所以f（x）min=f（e+1）=e2-a
（2）当a＞0时，△=16-4×2（2-a）=8a＞0．
令f'（x）＞0，即2x2-4x+2-a＞0，解得
令f'（x）＜0，即2x2-4x+2-a＜0，解得
①若
所以f（x）min=f（e2+1）=e4-2a．
②若
在区间
③若
所以f（x）min=f（e+1）=e2-a．
综上所述，当a＜0或0＜a≤2e2时，f（x）min=f（e+1）=e2-a；
当2e2＜a＜2e4时，
当a≥2e4时，f（x）min=e4-2a．（13分）
解析
解：（Ⅰ）
（1）当x＞1时，f（x）=（x-1）2-8ln（x-1），
由f‘（x）＞0得2（x-1）2-8＞0，解得x＞3或x＜-1．
注意到x＞1，所以函数f（x）的单调递增区间是（3，+∞）．
由f'（x）＜0得2（x-1）2-8＜0，解得-1＜x＜3，
注意到x＞1，所以函数f（x）的单调递减区间是（1，3）．
（2）当x＜1时，f（x）=（x-1）2-8ln（1-x），
由f'（x）＞0得2（x-1）2-8＜0，解得-1＜x＜3，
注意到x＜1，所以函数f（x）的单调递增区间是（-1，1）．
由f'（x）＜0得2（x-1）2-8＞0，解得x＞3或x＜-1，
由x＜1，所以函数f（x）的单调递减区间是（-∞，-1）．
综上所述，函数f（x）的单调递增区间是（-1，1），（3，+∞）；
单调递减区间是（-∞，-1），（1，3）．（5分）
（Ⅱ）当x∈[e+1，e2+1]时，f（x）=（x-1）2-aln（x-1），
所以
设g（x）=2x2-4x+2-a．
（1）当a＜0时，有△＜0，此时g（x）＞0，所以f'（x）＞0，f（x）在[e+1，e2+1]上单调递增．
所以f（x）min=f（e+1）=e2-a
（2）当a＞0时，△=16-4×2（2-a）=8a＞0．
令f'（x）＞0，即2x2-4x+2-a＞0，解得
令f'（x）＜0，即2x2-4x+2-a＜0，解得
①若
所以f（x）min=f（e2+1）=e4-2a．
②若
在区间
③若
所以f（x）min=f（e+1）=e2-a．
综上所述，当a＜0或0＜a≤2e2时，f（x）min=f（e+1）=e2-a；
当2e2＜a＜2e4时，
当a≥2e4时，f（x）min=e4-2a．（13分）
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